如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=ax^2+bx$ 的对称轴为 $x=\dfrac34$，且经过点 $A\left(2,1\right)$．点 $P$ 是抛物线上的动点，$P$ 的横坐标为 $m$（$0<m<2$）．过点 $P$ 作 $PB\perp x$ 轴，垂足为点 $B$，$PB$ 交 $OA$ 于点 $C$．点 $O$ 关于直线 $PB$ 的对称点为 $D$，连接 $CD,AD$．过点 $A$ 作 $AE\perp x$ 轴，垂足为点 $E$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
当 $m=$
所以 $CD=CO$，且点 $D\left(2m,0\right)$．
从而 $C_{\triangle ACD}=AC+CD+AD=AO+AD$，
因为 $AO$ 为定值，所以 $AD$ 最短时，$\triangle ACD$ 周长最小．
而当 $D$ 与 $E$ 重合时，$AD$ 最小，
此时 $D$ 点的坐标为 $\left(2,0\right)$，
所以 $m=1$． -
若 $\triangle ACD$ 为等腰三角形，求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标．标注答案符合条件的点 $P$ 的坐标分别为 $\left(1,-\dfrac12\right)$，$\left(\dfrac{12}{11},-\dfrac{54}{121}\right)$，$\left(\dfrac{10}{11},-\dfrac{65}{121}\right)$解析依题可得 $\begin{cases}
-\dfrac{b}{2a}=\dfrac34,\\4a+2b=1,
\end{cases}$
解得 $\begin{cases}
a=1,\\b=-\dfrac32.
\end{cases}$
所以抛物线的解析式为 $y=x^2-\dfrac32x$．
依题意得 $B\left(m,0\right)$，$P\left(m,m^2-\dfrac 32m\right)$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle OBC$ 中，$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{m^2+\left(\dfrac12m\right)^2}=\dfrac{\sqrt 5}2m$，
从而 $CD=OC=\dfrac{\sqrt5}2{m}$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle AOE$ 中，$OA=\sqrt{OE^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$，
所以 $AC=OA-OC=\sqrt5-\dfrac{\sqrt5}{2}m$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle ADE$ 中，$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{1^2+\left(2-2m\right)^2}=\sqrt{4m^2-8m+5}$．
若 $\triangle ACD$ 为等腰三角形，可分三种情况讨论：
① 若 $AC=CD$，即 $\sqrt5-\dfrac{\sqrt5}{2}m=\dfrac{\sqrt5}{2}m$，
解得 $m=1$，则此时 $P_1\left(1,-\dfrac12\right)$；
② 若 $AC=AD$，则有 $AC^2=AD^2$，即 $5-5m+\dfrac54m^2=4m^2-8m+5$，
解得 $m_1=0$，$m_2=\dfrac{12}{11}$．
而 $0<m<2$，所以 $m=\dfrac{12}{11}$，
所以此时 $P_2\left(\dfrac{12}{11},-\dfrac{54}{121}\right)$；
③ 若 $DA=DC$，则有 $DA^2=DC^2$，即 $4m^2-8m+5=\dfrac54m^2$，
解得 $m_1=\dfrac{10}{11}$，$m_2=2$，
而 $0<m<2$，所以 $m=\dfrac{10}{11}$，
所以此时 $P_3\left(\dfrac{10}{11},-\dfrac{65}{121}\right)$．
综上可得，当 $\triangle ACD$ 为等腰三角形时，点 $P$ 的坐标分别为 $\left(1,-\dfrac12\right)$，$\left(\dfrac{12}{11},-\dfrac{54}{121}\right)$，$\left(\dfrac{10}{11},-\dfrac{65}{121}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
