无

$(1)$ 曲线 $C$ 的方程为 $y^2=4x$

易知 $\overrightarrow {PM}=(a,-b),\overrightarrow {PF}=(1,-b)$，由 $\overrightarrow {PM}\cdot \overrightarrow {PF}=0$，得 $a+b^2=0$．设点 $N$ 坐标为 $(x,y)$，则 $\overrightarrow {PN}=(x,y-b),\overrightarrow {NM}=(a-x,-y)$．从而有$$2(x,y-b)+(a-x,-y)=\vec 0.$$即得 $a+x=0,y-2b=0$．所以 $x=-a=b^2=\dfrac {y^2}4$，曲线 $C$ 的方程为 $y^2=4x$．
$(2)$ 直线 $x=-1$ \quad 提示：当 $y>0$，有 $y=2\sqrt x,y'=\dfrac 1{\sqrt x}=\dfrac 2y$；当 $y<0,y=-2\sqrt x,y'=-\dfrac 1{\sqrt x}=\dfrac 2y$．总之，曲线 $C$ 上除原点 $(0,0)$ 外任意一点 $(x,y)$ 处的切线斜率为 $\dfrac 2y$．设 $l_1,l_2$ 为曲线 $C$ 的两条互相垂直的切线，切点分别为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，则其方程分别为\[\begin{split}l_1:y&=\dfrac 2{y_1}(x-x_1)+y_1;\\l_2:y&=\dfrac 2{y_2}(x-x_2)+y_2. \end{split}\]交点横坐标满足\[\begin{split} &2x\left(\dfrac 1{y_1}-\dfrac 1{y_2}\right)+2\left(\dfrac {x_2}{y_2}-\dfrac {x_1}{y_1}\right)+(y_1-y_2)\\=&2x\left(\dfrac {y_2-y_1}{y_1y_2}\right)+2\left(\dfrac {y_2}{4}-\dfrac {y_1}{4}\right)-(y_2-y_1)\\=&(y_2-y_1)\left(\dfrac {2x}{y_1y_2}+\dfrac 12-1\right)\\=&0. \end{split}\]由 $l_1\perp l_2$，知 $y_1y_2=-4$，又因为 $y_2\ne y_1$，所以 $-\dfrac x2+\dfrac 12-1=0$，得 $x=-1$．所以直线 $x=-1$ 是所求轨迹．
【注】本题理应再证明 $x=-1$ 上任意一点均为曲线 $C$ 的两条互相垂直的切线的交点，这里不作要求得到 $x=-1$ 即为满分．