已知抛物线 $C:y=ax^2(a>0)$，直线 $y=x+2$ 交抛物线 $C$ 于 $A,B$ 两点，$M$ 是线段 $AB$ 的中点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线 $C$ 于点 $N$．
$(1)$ 证明：抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线 $l$ 与 $AB$ 平行．
$(2)$ 是否存在实数 $a$，使得 $\overrightarrow {NA}\cdot \overrightarrow {NB}=0$？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．
$(1)$ 证明：抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线 $l$ 与 $AB$ 平行．
$(2)$ 是否存在实数 $a$，使得 $\overrightarrow {NA}\cdot \overrightarrow {NB}=0$？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(1)$ 略
【解析】
由 $\begin{cases}y=x+2,\\y=ax^2\end{cases}$ 得 $ax^2-x-2=0$．设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$$x_1+x_2=\dfrac 1a,x_1x_2=-\dfrac 2a.$$所以\[\begin{split}x_N&=x_M=\dfrac {x_1+x_2}{2}=\dfrac 1{2a}, \\y_N&=a\cdot x_N^2=\dfrac 1{4a}. \end{split}\]由 $y'=(ax^2)'=2ax$ 知，抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线 $l$ 与直线 $AB$ 平行．
$(2)$ 存在实数 $a=\dfrac 78$，使得 $\overrightarrow {NA}\cdot \overrightarrow {NB}=0$．\quad 提示：假设存在实数 $a$，使得 $\overrightarrow {NA}\cdot \overrightarrow {NB}=0$．由 $M$ 是线段 $AB$ 的中点知，$$\overrightarrow {NA}\cdot \overrightarrow {NB}=0\Leftrightarrow NA\perp NB\Leftrightarrow |MN|=\dfrac 12|AB|.$$由 $MN\perp x$ 轴知，$$|MN|=\left|\dfrac 1{2a}+2-\dfrac 1{4a}\right|=\dfrac 1{4a}+2.$$又因为\[\begin{split}|AB|&=\sqrt 2\cdot |x_1-x_2|\\&=\sqrt 2\cdot \sqrt {(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\&=\sqrt 2\cdot \sqrt {\dfrac 1{a^2}+\dfrac 8a}. \end{split}\]所以$$\left(\dfrac 1{4a}+2\right)^2=\dfrac 14\times 2\times \left(\dfrac 1{a^2}+\dfrac 8a\right),$$解得 $a=\dfrac 78$ 或 $a=-\dfrac 18$（舍去）．因此存在实数 $a=\dfrac 78$，使得 $\overrightarrow {NA}\cdot \overrightarrow {NB}=0$．
$(2)$ 存在实数 $a=\dfrac 78$，使得 $\overrightarrow {NA}\cdot \overrightarrow {NB}=0$．\quad 提示：假设存在实数 $a$，使得 $\overrightarrow {NA}\cdot \overrightarrow {NB}=0$．由 $M$ 是线段 $AB$ 的中点知，$$\overrightarrow {NA}\cdot \overrightarrow {NB}=0\Leftrightarrow NA\perp NB\Leftrightarrow |MN|=\dfrac 12|AB|.$$由 $MN\perp x$ 轴知，$$|MN|=\left|\dfrac 1{2a}+2-\dfrac 1{4a}\right|=\dfrac 1{4a}+2.$$又因为\[\begin{split}|AB|&=\sqrt 2\cdot |x_1-x_2|\\&=\sqrt 2\cdot \sqrt {(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\&=\sqrt 2\cdot \sqrt {\dfrac 1{a^2}+\dfrac 8a}. \end{split}\]所以$$\left(\dfrac 1{4a}+2\right)^2=\dfrac 14\times 2\times \left(\dfrac 1{a^2}+\dfrac 8a\right),$$解得 $a=\dfrac 78$ 或 $a=-\dfrac 18$（舍去）．因此存在实数 $a=\dfrac 78$，使得 $\overrightarrow {NA}\cdot \overrightarrow {NB}=0$．
答案
解析
备注
