椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$，直线 $x=\dfrac {a^2}{c}$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$，在椭圆上存在点 $P$ 满足线段 $AP$ 的垂直平分线过点 $F$，求椭圆离心率的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 12,1\right)$
【解析】
设 $P(x_0,y_0)$，则根据椭圆的焦半径公式有 $|PF|=|FA|$，即\[a-ex_0=\dfrac {a^2}{c}-c,\]解得\[x_0=\dfrac {a^2}{c}+a-\dfrac {a^3}{c^2}.\]又因为 $x_0\in [-a,a)$，所以有$$-a\leqslant \dfrac {a^2}{c}+a-\dfrac {a^3}{c^2}< a,$$两边同除以 $a$ 可解得 $\dfrac 12\leqslant e<1$．
答案
解析
备注
