过直线 $2x-y+3=0$ 和圆 $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ 的交点且面积最小的圆的方程为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
${\left( {x + \dfrac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{9}{5}} \right)^2} = \dfrac{{19}}{5}$
【解析】
如图．
设圆的方程为 ${x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 1 + \lambda \left( {2x - y + 3} \right) = 0$，则$${\left( {x + 1 + \lambda } \right)^2} + {\left( {y - 2 - \dfrac{\lambda }{2}} \right)^2} = {\left( {1 + \lambda } \right)^2} + {\left( {2 + \dfrac{\lambda }{2}} \right)^2} - 1 - 3\lambda ,$$显然当圆心 $M\left( {\lambda + 1 , 2 + \dfrac{\lambda }{2}} \right)$ 在直线 $2x - y + 3 = 0$ 上时，直径最小（或对右边配方），从而 $\lambda = - \dfrac{2}{5}$，于是圆的方程为$${\left( {x + \dfrac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{9}{5}} \right)^2} = \dfrac{{19}}{5}.$$
设圆的方程为 ${x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 1 + \lambda \left( {2x - y + 3} \right) = 0$，则$${\left( {x + 1 + \lambda } \right)^2} + {\left( {y - 2 - \dfrac{\lambda }{2}} \right)^2} = {\left( {1 + \lambda } \right)^2} + {\left( {2 + \dfrac{\lambda }{2}} \right)^2} - 1 - 3\lambda ,$$显然当圆心 $M\left( {\lambda + 1 , 2 + \dfrac{\lambda }{2}} \right)$ 在直线 $2x - y + 3 = 0$ 上时，直径最小（或对右边配方），从而 $\lambda = - \dfrac{2}{5}$，于是圆的方程为$${\left( {x + \dfrac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{9}{5}} \right)^2} = \dfrac{{19}}{5}.$$
答案
解析
备注
