设 $F_1,F_2$ 为双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点，双曲线 $C$ 与圆 $x^2+y^2=r^2$ 的一个交点为 $P$，若 $\dfrac{|PF_1|+|PF_2|}{r}$ 的最大值为 $4\sqrt 2$，则双曲线的离心率 $e$ 为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt 2$
【解析】
设 $P\left(r\cos\theta,r\sin\theta\right)$，则由双曲线的焦半径公式，有\[\dfrac{|PF_1|+|PF_2|}{r}=\dfrac{e\cdot r\cos\theta+a+e\cdot r\cos\theta-a}{r}=2e\cos\theta,\]显然当 $\theta=0$ 时该式取得最大值，从而 $e=2\sqrt 2$．
答案
解析
备注
