设 $|a|\leqslant 1$，$a,b \in \mathbb R$，求 $(a-b)^2+(\sqrt{1-a^2}-2b-5)^2$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 5-1$
【解析】
原式可以看作点 $P(a,\sqrt{1-a^2})$ 到点 $Q(b,2b+5)$ 的距离．
点 $P$ 的轨迹为圆 $x^2+y^2=1$ 的上半部分；点 $Q$ 的轨迹为直线 $y=2x+5$．
因此问题转化为求圆 $x^2+y^2=1$ 的上半部分的点到直线 $y=2x+5$ 的距离的最小值，为 $\sqrt 5-1$．
点 $P$ 的轨迹为圆 $x^2+y^2=1$ 的上半部分；点 $Q$ 的轨迹为直线 $y=2x+5$．
因此问题转化为求圆 $x^2+y^2=1$ 的上半部分的点到直线 $y=2x+5$ 的距离的最小值，为 $\sqrt 5-1$．
答案
解析
备注
