设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对应的边长分别为 $a,b,c$．已知 $a+b+c=16$，求 $b^2\cos^2\dfrac{C}{2}+c^2\cos^2\dfrac{B}{2}+2bc\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\sin\dfrac{A}{2}$ 的值．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
【答案】
$64$
【解析】
由题可得\[\begin{split}&b^2\cos^2\dfrac{C}{2}+c^2\cos^2\dfrac{B}{2}+2bc\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\sin\dfrac{A}{2}\\=&\dfrac12b^2(1+\cos C)+\dfrac12c^2(1+\cos B)+2bc\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{B+C}{2}\\=&\dfrac12b^2(1+cos C)+\dfrac12c^2(1+\cos B)+2bc\cos^2\dfrac{B}{2}\cos^2\dfrac{C}{2}-2bc\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\\=&\dfrac12b^2(1+\cos C)+\dfrac12c^2(1+\cos B)+\dfrac12bc(1+\cos B)(1+\cos C)-\dfrac12bc\sin B\sin C\\=&\dfrac12b^2+\dfrac12c^2+\dfrac12b(b\cos C+c\cos B)+\dfrac12c(b\cos C+c\cos B)+\dfrac12bc+\dfrac12bc\cos(B+C)\\=&\dfrac12b^2+\dfrac12c^2+\dfrac12ab+\dfrac12ac+\dfrac12bc-\dfrac12bc\cos A\\=&\dfrac14(b^2+c^2-2bc\cos A)+\dfrac14b^2+\dfrac14c^2+\dfrac12ab+\dfrac12ac+\dfrac12bc\\=&\dfrac14(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)^2\\=&\dfrac14(a+b+c)^2\\=&64.\end{split}\]
答案
解析
备注
