【难度】
【出处】
无
【标注】
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如图1，在等边三角形 $ABC$ 中，$AB=2$，点 $E$ 是 $AB$ 的中点，$AD$ 是高，在 $AD$ 上找一点 $P$，使 $BP+EP$ 的值最小，并求 $BP+PE$ 的最小值．标注答案$\sqrt 3$解析$\sqrt 3$（作法是：作点 $B$ 关于 $AD$ 的对称点，恰好与点 $C$ 重合，连接 $CE$ 交 $AD$ 于一点，这点就是所求的点 $P$）．
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如图2，已知 $\odot O$ 的直径 $CD$ 为 $2$，$\overparen{AC}$ 的度数为 $60^\circ$，点 $B$ 是 $\overparen{AC}$ 的中点，在直径 $CD$ 上作出点 $P$，使 $BP+AP$ 的值最小，并求 $BP+AP$ 的最小值．标注答案$\sqrt 2$解析$\sqrt 2$（作法是：作点 $B$ 关于 $CD$ 的对称点 $E$，连接 $AE$ 交 $CD$ 于一点，这点就是所求的点 $P$）．
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如图3，点 $P$ 是四边形 $ABCD$ 内一点，$BP=m$，$\angle ABC=\alpha$，分别在边 $AB,BC$ 上作出点 $M,N$，使 $\triangle PMN$ 的周长最小，并求出这个最小值（用含 $m,\alpha$ 的代数式表示）．标注答案$PM+PN+MN=EF=2m\cdot\sin\alpha$解析分别作点 $P$ 关于边 $AB,BC$ 的对称点 $E,F$，连接 $EF$，分别与边 $AB,BC$ 交于点 $M,N$，线段 $EF$ 的长度即为 $\triangle PMN$ 的周长的最小值．
连接 $BE,BF$．
所以 $\angle EBF=2\angle ABC=2\alpha$，$BE=BF=BP=m$．
过 $B$ 作 $BH\perp EF$ 于 $H$，
所以 $\angle EBH=\dfrac 12\angle EBF=\alpha$，$EH=FH$．
在 ${\mathrm {Rt}}\triangle BEH$ 中，$\sin \alpha=\dfrac{EH}{EB}$，
所以 $EH=BE\cdot \sin\alpha=m\cdot \sin\alpha$，
所以 $EF=2m\cdot\sin\alpha$，
即 $PM+PN+MN=EF=2m\cdot\sin\alpha$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
