如图，锐角 $\triangle ABC$ 外心为 $O$，直线 $BO$ 和 $CO$ 分别与边 $AC$，$AB$ 交于点 $B'$，$C'$．直线 $B'C'$ 交 $\triangle ABC$ 外接圆于点 $P$，$Q$．若 $AP=AQ$，证明：$\triangle ABC$ 是等腰三角形锐角三角形．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
连结 $BP$，$QC$，则$$\angle PBA=\angle AQP=\angle APC'.$$因为 $AP=AQ$，所以$$\angle APQ=\angle AQP.$$又 $\angle PAB$ 为公共角，所以$$\triangle APC' \backsim \triangle ABP,$$则$$AC'\cdot AB=AP^2.$$同理$$AB' \cdot AC=AQ^2.$$又 $AP=AQ$，所以$$AC'\cdot AB=AB' \cdot AC.$$则 $C'$、$B'$、$C$、$B$ 四点共圆，$$\angle ABO=\angle ACO.$$连结 $AO$，则 $\triangle ABO \cong \triangle ACO$，所以$$AB=AC,$$即 $\triangle ABC$ 是等腰三角形．
答案
解析
备注
