已知 $E$ 是对称轴与坐标轴方向平行或垂直的非圆二次曲线，$A,B,C,D$ 是曲线 $E$ 上的四个不同点，直线 $AC$ 与直线 $BD$ 相交且斜率均存在，求证：$A,B,C,D$ 四点共圆的充要条件是直线 $AC$ 与直线 $BD$ 的斜率互为相反数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $E$ 的方程为 $Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0$，其中 $A^2+B^2\ne 0$ 且 $A\ne B$，直线 $AC,BD$ 的方程分别为\[AC:k_1x-y+m_1=0,BD:k_2x-y+m_2=0,\]则曲线 $AC\cup BD$ 与曲线 $E$ 形成交点曲线系\[(k_1x-y+m_1)(k_2x-y+m_2)+\lambda(Ax^2+By^2+Dx+Ey+F)=0,\]因此 $A,B,C,D$ 四点共圆的充要条件是该方程不含交叉项 $xy$，也即 $k_1$ 与 $k_2$ 互为相反数．
答案
解析
备注
