如图，抛物线 $y=ax^2-6x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-5,0),B(-1,0)$，与 $y$ 轴交于点 $C$，$P$ 是抛物线上的动点，连接 $PA$．过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $AC$ 于点 $D$．请问 $\triangle APD$ 能否为等腰三角形？若能，求出此时点 $P$ 的坐标；若不能，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\triangle APD$ 能为等腰三角形，此时点 $P$ 的坐标为 $(-2,3)$，$(-1,0)$，$(-\sqrt 2,6\sqrt 2-7)$ 或 $(\sqrt 2,-6\sqrt 2-7)$
【解析】
将点 $A,B$ 的坐标代入抛物线解析式，可得 $\begin{cases}25a+30+c=0,\\ a+6+c=0,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-1,\\ c=-5.\end{cases}$
所以抛物线解析式为 $y=-x^2-6x-5$．
从而得到点 $C$ 的坐标为 $(0,-5)$，
所以直线 $AC:y=-x-5$，且 $\angle ADP=\angle ACO=45^\circ$．
可设点 $P$ 的坐标为 $(m,-m^2-6m-5)$，则点 $D$ 的坐标为 $(m,-m-5)$．
$\triangle APD$ 为等腰三角形有三种情况：
① 当 $AP=AD$ 时，点 $P$ 与点 $D$ 关于 $x$ 轴对称．
所以 $-m^2-6m-5=-(-m-5)$，
解得 $m_1=-2$，$m_2=-5$（舍去）．
所以点 $P$ 的坐标为 $(-2,3)$；
② 当 $AP=PD$ 时，$\angle APD=90^\circ$，
此时点 $P$ 与点 $B$ 重合，即点 $P$ 的坐标为 $(-1,0)$；
③ 当 $AD=PD$ 时，可列方程 $|m^2+5m|=\sqrt 2|m+5|$，
解得 $m=\pm \sqrt 2$，
所以点 $P$ 的坐标为 $(-\sqrt 2,6\sqrt 2-7)$ 或 $(\sqrt 2,-6\sqrt 2-7)$．
综上可得，$\triangle APD$ 能为等腰三角形，此时点 $P$ 的坐标为 $(-2,3)$，$(-1,0)$，$(-\sqrt 2,6\sqrt 2-7)$ 或 $(\sqrt 2,-6\sqrt 2-7)$．
解得 $\begin{cases}a=-1,\\ c=-5.\end{cases}$
所以抛物线解析式为 $y=-x^2-6x-5$．
从而得到点 $C$ 的坐标为 $(0,-5)$，
所以直线 $AC:y=-x-5$，且 $\angle ADP=\angle ACO=45^\circ$．
可设点 $P$ 的坐标为 $(m,-m^2-6m-5)$，则点 $D$ 的坐标为 $(m,-m-5)$．
$\triangle APD$ 为等腰三角形有三种情况：
① 当 $AP=AD$ 时，点 $P$ 与点 $D$ 关于 $x$ 轴对称．
所以 $-m^2-6m-5=-(-m-5)$，
解得 $m_1=-2$，$m_2=-5$（舍去）．
所以点 $P$ 的坐标为 $(-2,3)$；
② 当 $AP=PD$ 时，$\angle APD=90^\circ$，
此时点 $P$ 与点 $B$ 重合，即点 $P$ 的坐标为 $(-1,0)$；
③ 当 $AD=PD$ 时，可列方程 $|m^2+5m|=\sqrt 2|m+5|$，
解得 $m=\pm \sqrt 2$，
所以点 $P$ 的坐标为 $(-\sqrt 2,6\sqrt 2-7)$ 或 $(\sqrt 2,-6\sqrt 2-7)$．
综上可得，$\triangle APD$ 能为等腰三角形，此时点 $P$ 的坐标为 $(-2,3)$，$(-1,0)$，$(-\sqrt 2,6\sqrt 2-7)$ 或 $(\sqrt 2,-6\sqrt 2-7)$．
答案
解析
备注
