如图，矩形的边 $OA$ 在 $x$ 轴上，边 $OC$ 在 $y$ 轴上，点 $B$ 的坐标为 $\left(10,8\right)$，沿直线 $OD$ 折叠矩形，使点 $A$ 正好落在 $BC$ 上的 $E$ 处，$E$ 点坐标为 $\left(6,8\right)$，抛物线 $y=-\dfrac 1 3 x^2+\dfrac {10} 3 x$ 经过 $O,A,E$ 三点．点 $P$ 是抛物线对称轴上的一动点，当 $\triangle PAD$ 的周长最小时，求点 $P$ 的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$P$ 点的坐标是 $\left(5,\dfrac 5 2 \right)$
【解析】
由题意可知：$AD=ED$，$ BE=|10-6|=4 $，$AB=8$，
设 $AD$ 为 $x$，则 $ED=x$，$BD=AB-AD=8-x$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle BDE$ 中，$ED^2=EB^2+BD^2$，即 $x^2=4^2+\left(8-x\right)^2$．
解得 $x=5$，即 $AD=5$．
所以 $D$ 点的坐标是 $\left(10,5\right)$．
因为 $\triangle PAD$ 的周长 $l=PA+PD+AD=PA+PD+5$，抛物线的对称轴是线段 $OA$ 的垂直平分线，点 $P$ 是抛物线对称轴上的一动点，
所以 $PO=PA$，
所以 $l=PA+PD+5=PO+PD+5$，
所以当 $PO+PD$ 最小时，$l$ 最小，
所以当点 $P$ 移动到直线 $OD$ 与抛物线对称轴的交点处时 $PO+PD$ 最小．
设直线 $OD$ 的方程为 $y=kx$，将 $D$ 点的坐标 $\left(10,5\right)$ 代入得 $5=10k$，
求得 $k=\dfrac 1 2 $，
所以直线 $OD$ 的方程为 $y=\dfrac 1 2 x$．
当 $x=5$ 时，$y=\dfrac 5 2 $．
所以 $P$ 点的坐标是 $\left(5,\dfrac 5 2 \right)$．
设 $AD$ 为 $x$，则 $ED=x$，$BD=AB-AD=8-x$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle BDE$ 中，$ED^2=EB^2+BD^2$，即 $x^2=4^2+\left(8-x\right)^2$．
解得 $x=5$，即 $AD=5$．
所以 $D$ 点的坐标是 $\left(10,5\right)$．
因为 $\triangle PAD$ 的周长 $l=PA+PD+AD=PA+PD+5$，抛物线的对称轴是线段 $OA$ 的垂直平分线，点 $P$ 是抛物线对称轴上的一动点，
所以 $PO=PA$，
所以 $l=PA+PD+5=PO+PD+5$，
所以当 $PO+PD$ 最小时，$l$ 最小，
所以当点 $P$ 移动到直线 $OD$ 与抛物线对称轴的交点处时 $PO+PD$ 最小．
设直线 $OD$ 的方程为 $y=kx$，将 $D$ 点的坐标 $\left(10,5\right)$ 代入得 $5=10k$，
求得 $k=\dfrac 1 2 $，
所以直线 $OD$ 的方程为 $y=\dfrac 1 2 x$．
当 $x=5$ 时，$y=\dfrac 5 2 $．
所以 $P$ 点的坐标是 $\left(5,\dfrac 5 2 \right)$．
答案
解析
备注
