已知非负实数 $x,y,z$ 满足 $4x^2+4y^2+z^2+2z=3$，求 $5x+4y+3z$ 的最值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
最大值为 $\sqrt{77}-3$，最小值为 $3$
【解析】
由已知$$4x^2+4y^2+(z+1)^2=4,$$应用柯西不等式即得最大值为 $\sqrt{77}-3$．
令 $a=2x$，$b=2y$，$c=z+1$，则问题转化为已知 $a^2+b^2+c^2=4$，且 $a,b\geqslant 0$，$c\geqslant 1$，求 $\dfrac 52a+2b+3c-3$ 的最小值．由于 $(a,b,c)\cdot \left(\dfrac 52,2,3\right)$ 在边界处取得最小值，因此不难计算得其最小值为 $6$，于是原式最小值为 $3$．
事实上，显然 $x,y,z\in [0,1]$，于是$$5x+4y+3z\geqslant 4x^2+4y^2+3z=-z^2+z+3=z(1-z)+3\geqslant 3,$$等号当 $x=y=0$ 且 $z=1$ 时取得．
令 $a=2x$，$b=2y$，$c=z+1$，则问题转化为已知 $a^2+b^2+c^2=4$，且 $a,b\geqslant 0$，$c\geqslant 1$，求 $\dfrac 52a+2b+3c-3$ 的最小值．由于 $(a,b,c)\cdot \left(\dfrac 52,2,3\right)$ 在边界处取得最小值，因此不难计算得其最小值为 $6$，于是原式最小值为 $3$．
事实上，显然 $x,y,z\in [0,1]$，于是$$5x+4y+3z\geqslant 4x^2+4y^2+3z=-z^2+z+3=z(1-z)+3\geqslant 3,$$等号当 $x=y=0$ 且 $z=1$ 时取得．
答案
解析
备注
