如图，已知锐角 $\triangle ABC$ 的三边 $BC,CA,AB$ 的中点分别为 $D,E,F$，在 $EF,FD,DE$ 的延长线上分别取点 $P,Q,R$，若 $AP=BQ=CR$，证明 $\triangle PQR$ 的外心为 $\triangle ABC$ 的垂心．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设 $\triangle ABC$ 的三条高线分别为 $AL,BM,CN$，垂心为 $H,EF$ 与 $AL$ 交于点 $K$，则\[\begin{split}AP^2&=PK^2+AK^2\\&=PH^2-KH^2+AK^2\\&=PH^2+(AK+KH)(AK-KH)\\&=PH^2+AH\cdot HL.\end{split}\]同理可得，\[\begin{split}BQ^2&=QH^2+BH\cdot HM.\\CR^2&=RH^2+CH\cdot HN.\end{split}\]因为$$AP=BQ=CR,$$且有$$AH\cdot HL=BH\cdot HM=CH\cdot HN,$$所以 $PH=QH=RH$，因此 $H$ 为 $\triangle PQR$ 的垂心．
答案
解析
备注
