如图，直线 $y=5x+5$ 交 $x$ 轴于点 $A$，交 $y$ 轴于点 $C$，过 $A$，$C$ 两点的二次函数 $y=-x^2+4x+5$ 的图象交 $x$ 轴于另一点 $B$．若点 $H$ 为二次函数 图象的顶点，点 $M\left(4,m\right)$ 是该二次函数图象上一点，在 $x$ 轴、$y$ 轴上分别找点 $F,E$，使四边形 $HEFM$ 的周长最小，求出点 $F,E$ 的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
点 $F$，$E$ 的坐标分别为 $F\left(\dfrac{13}{7},0\right)$，$E\left(0,\dfrac{13}{3}\right)$
【解析】
由题意可得二次函数的顶点坐标为 $H\left(2,9\right)$，点 $M$ 的坐标为 $M\left(4,5\right)$，
作点 $H\left(2,9\right)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $H_1$，则点 $H_1$ 的坐标为 $H_1\left(-2,9\right)$，
作点 $M\left(4,5\right)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $M_1$，则点 $M_1$ 的坐标为 $M_1\left(4,-5\right)$，
连接 $H_1M_1$ 分别交 $x$ 轴于点 $F$，$y$ 轴于点 $E$．
所以 $H_1M_1+HM$ 的长度是四边形 $HEFM$ 的最小周长，则点 $F,E$ 即为所求．
设直线 $H_1M_1$ 的函数表达式为 $y=k_1x+b_1$，
直线 $H_1M_1$ 过点 $M_1\left(4,-5\right)$，$H_1\left(-2,9\right)$，
根据题意得方程组 $\begin{cases}-5=4k_1+b_1,\\ 9=-k_1+b_1.\end{cases}$
解得 $\begin{cases} k_1=-\dfrac{7}{3},\\ b_1=\dfrac{13}{3}.\end{cases}$
所以 $y=-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{13}{3}$，
所以点 $F,E$ 的坐标分别为 $F\left(\dfrac{13}{7},0\right)$，$E\left(0,\dfrac{13}{3}\right)$．
作点 $H\left(2,9\right)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $H_1$，则点 $H_1$ 的坐标为 $H_1\left(-2,9\right)$，
作点 $M\left(4,5\right)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $M_1$，则点 $M_1$ 的坐标为 $M_1\left(4,-5\right)$，
连接 $H_1M_1$ 分别交 $x$ 轴于点 $F$，$y$ 轴于点 $E$．
所以 $H_1M_1+HM$ 的长度是四边形 $HEFM$ 的最小周长，则点 $F,E$ 即为所求．
设直线 $H_1M_1$ 的函数表达式为 $y=k_1x+b_1$，
直线 $H_1M_1$ 过点 $M_1\left(4,-5\right)$，$H_1\left(-2,9\right)$，
根据题意得方程组 $\begin{cases}-5=4k_1+b_1,\\ 9=-k_1+b_1.\end{cases}$
解得 $\begin{cases} k_1=-\dfrac{7}{3},\\ b_1=\dfrac{13}{3}.\end{cases}$
所以 $y=-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{13}{3}$，
所以点 $F,E$ 的坐标分别为 $F\left(\dfrac{13}{7},0\right)$，$E\left(0,\dfrac{13}{3}\right)$．
答案
解析
备注
