如图，顶点为 $A\left(\sqrt3,1\right)$ 的抛物线经过坐标原点 $O$，与 $x$ 轴交于点 $B$，过 $B$ 作 $OA$ 的平行线交 $y$ 轴于点 $C$，交抛物线于点 $D$．在 $x$ 轴上找一点 $P$，使得 $\triangle PCD$ 的周长最小，求出 $P$ 点的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
点 $P$ 的坐标为 $\left(-\dfrac{2\sqrt3}{5},0\right)$
【解析】
因为抛物线顶点为 $A\left(\sqrt3,1\right)$，
设抛物线的表达式为 $y=a\left(x-\sqrt3\right)^2+1$．
将原点坐标 $\left(0,0\right)$ 代入表达式，得 $a=-\dfrac{1}{3}$．
所以 抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2\sqrt3}{3}x$．
将 $y=0$ 代入 $y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2\sqrt3}{3}x$ 中，得 $x=2\sqrt{3}$，
即 $B$ 点坐标为 $\left(2\sqrt3,0\right)$．
易得直线 $OA$ 的表达式为 $y=\dfrac{\sqrt3}{3}x$．
由 $BD\parallel AO$，可设直线 $BD$ 对应的一次函数的表达式为 $y=\dfrac{\sqrt3}{3}x+b$．
将 $B\left(2\sqrt3,0\right)$ 代入 $y=\dfrac{\sqrt3}{3}x+b$ 中，得 $b=-2$．
所以直线 $BD$ 对应的一次函数的表达式为 $y=\dfrac{\sqrt3}{3}x-2$．
由 $\begin{cases}y=\dfrac{\sqrt3}{3}x-2,\\y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2\sqrt3}{3}x\end{cases} $ 得 $ x_1=-\sqrt{3} $，$ x_2=2\sqrt{3} $．
所以点 $D$ 的坐标为 $\left(-\sqrt3,-3\right)$．
将 $x=0$ 代入 $y=\dfrac{\sqrt3}{3}x-2$ 中，得 $C$ 点的坐标为 $\left(0,-2\right)$．
作点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点 $C'$，则点 $C'\left(0,2\right)$．
连接 $C'D$ 与 $x$ 轴的交点即为点 $P$，此时 $\triangle PCD$ 的周长最小．
过点 $D$ 作 $DQ\perp y轴$，垂足为点 $Q$，则 $PO\parallel DQ$．
所以 $\triangle C'PO\backsim\triangle C'DQ$，
所以 $\dfrac{PO}{DQ}=\dfrac{C'O}{C'Q}$，即 $\dfrac{PO}{\sqrt3}=\dfrac{2}{5}$，
从而 $ PO=\dfrac{2\sqrt3}{5}$，
所以点 $P$ 的坐标为 $\left(-\dfrac{2\sqrt3}{5},0\right)$．
设抛物线的表达式为 $y=a\left(x-\sqrt3\right)^2+1$．
将原点坐标 $\left(0,0\right)$ 代入表达式，得 $a=-\dfrac{1}{3}$．
所以 抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2\sqrt3}{3}x$．
将 $y=0$ 代入 $y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2\sqrt3}{3}x$ 中，得 $x=2\sqrt{3}$，
即 $B$ 点坐标为 $\left(2\sqrt3,0\right)$．
易得直线 $OA$ 的表达式为 $y=\dfrac{\sqrt3}{3}x$．
由 $BD\parallel AO$，可设直线 $BD$ 对应的一次函数的表达式为 $y=\dfrac{\sqrt3}{3}x+b$．
将 $B\left(2\sqrt3,0\right)$ 代入 $y=\dfrac{\sqrt3}{3}x+b$ 中，得 $b=-2$．
所以直线 $BD$ 对应的一次函数的表达式为 $y=\dfrac{\sqrt3}{3}x-2$．
由 $\begin{cases}y=\dfrac{\sqrt3}{3}x-2,\\y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2\sqrt3}{3}x\end{cases} $ 得 $ x_1=-\sqrt{3} $，$ x_2=2\sqrt{3} $．
所以点 $D$ 的坐标为 $\left(-\sqrt3,-3\right)$．
将 $x=0$ 代入 $y=\dfrac{\sqrt3}{3}x-2$ 中，得 $C$ 点的坐标为 $\left(0,-2\right)$．
作点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点 $C'$，则点 $C'\left(0,2\right)$．
连接 $C'D$ 与 $x$ 轴的交点即为点 $P$，此时 $\triangle PCD$ 的周长最小．
过点 $D$ 作 $DQ\perp y轴$，垂足为点 $Q$，则 $PO\parallel DQ$．
所以 $\triangle C'PO\backsim\triangle C'DQ$，所以 $\dfrac{PO}{DQ}=\dfrac{C'O}{C'Q}$，即 $\dfrac{PO}{\sqrt3}=\dfrac{2}{5}$，
从而 $ PO=\dfrac{2\sqrt3}{5}$，
所以点 $P$ 的坐标为 $\left(-\dfrac{2\sqrt3}{5},0\right)$．
答案
解析
备注
