设向量 $\vec i,\vec j$ 分别为直角坐标平面内 $x$ 轴、$y$ 轴正方向上的单位向量．若 $\vec a=(x+2)\vec i+y\vec j,\vec b=(x-2)\vec i+y\vec j$，且 $|\vec a|-|\vec b|=2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求满足上述条件的点 $P(x,y)$ 的轨迹方程；标注答案$x^2-\dfrac {y^2}3=1(x>0) $解析由条件 $|\vec a|-|\vec b|=2$ 可知，$$\sqrt {(x+2)^2+y^2}-\sqrt {(x-2)^2+y^2}=2.$$由双曲线定义得点 $P$ 的轨迹方程：$x^2-\dfrac {y^2}3=1(x>0).$
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设 $A(-1,0),F(2,0)$，问：是否存在常数 $\lambda(\lambda>0)$，使得 $\angle PFA=\lambda\angle PAF$ 恒成立？证明你的结论．标注答案存在常数 $\lambda =2$，使得 $\angle PFA=2\angle PAF$ 恒成立解析在第一象限内作 $PF\perp x$ 轴，点 $P$ 坐标为 $(2,3)$，此时 $\angle PFA=90^\circ ,\angle PAF=45^\circ $ 可得 $\lambda =2.$
下面证明当点 $P$ 在第一象限但 $PF$ 与 $x$ 轴不垂直时，$\angle PFA=2\angle PAF$ 恒成立．
设 $P(x_1,y_1)$，可知$$k_{PA}=\dfrac {y_1}{x_1+1},k_{PF}=\dfrac {y_1}{x_1-2},$$则$$\tan 2\angle PAF=\dfrac {2k_{PA}}{1-(k_{PA})^2}=\dfrac {2(x_1+1)y_1}{(x_1+1)^2-y_1^2}.$$由点 $P$ 在 $x^2-\dfrac {y^2}{3}=1$ 上，得$$y_1^2=3(x_1^2-1)=3(x_1+1)(x_1-1).$$代入上式并化简得\[\begin{split} \tan 2\angle PAF&=-\dfrac {y_1}{x_1-2},\\ \tan \angle PFA=-k_{PF}=-\dfrac {y_1}{x_1-2}, \end{split}\]即$$\tan 2\angle PAF=\tan \angle PFA,$$所以$$\angle PFA=2\angle PAF.$$由对称性知，当点 $P$ 在第四象限时，结论同样成立．
因此存在常数 $\lambda =2$，使得 $\angle PFA=2\angle PAF$ 恒成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
