在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1,a_2$ 是给定的非零整数，$a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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令 $a_1=2,a_2=-1$，求 $a_{2008}$；标注答案$a_{2008}=0$解析由 $a_1=2,a_2=-1,a_3=3,a_4=4,a_5=1,a_6=3,a_7=2,a_8=1,a_9=1,a_{10}=0,a_{11}=1,a_{12}=1,a_{13}=0,\cdots ,$ 可知自第 $8$ 项起，每三个相邻的项周期的取值 $1,1,0,$ 故 $a_{2008}=0$．
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证明：从 $\{a_n\}$ 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．标注答案略解析首先证明数列 $\{a_n\}$ 必在有限项后出现零项．假设 $\{a_n\}$ 中没有零项，由于 $a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$，所以 $n\geqslant 3$ 时，都有 $a_n\geqslant 1$．当 $a_{n+1}>a_n$ 时，$$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\leqslant a_{n+1}-1(n\geqslant 3);$$当 $a_{n+1}<a_n$ 时，$$a_{n+2}=a_n-a_{n+1}\leqslant a_n-1(n\geqslant 3),$$即 $a_{n+2}$ 要么比 $a_{n+1}$ 至少小 $1$，要么比 $a_n$ 至少小 $1$．令$$b_n=\begin{cases}a_{2n+1}(a_{2n+1}>a_{2n+2}), \\ a_{2n+2}(a_{2n+1}<a_{2n+2}), \end{cases}$$则 $0<b_{n+1}\leqslant b_n-1$．由于 $b_1$ 是确定的正整数，这样下去，必然存在某项 $b_k<0$，这与 $b_k>0$ 矛盾，从而 $\{a_n\}$ 中必有零项．
若第一次出现的零项是 $a_n$，记 $a_{n-1}=M(M\ne 0)$，则自第 $n$ 项开始每三个相邻的项的周期的取值 $0,M,M$，即$$\begin{cases} a_{n+3k}=0,\\a_{n+3k+1}=M,(k=0,1,2,\cdots). \\a_{n+3k+2}=M \end{cases}$$所以数列 $\{a_n\}$ 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
