直线 $x+y=1$ 交椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$ 于 $A,B$ 两点，$C$ 是线段 $AB$ 的中点，若 $|AB|=2\sqrt 2$，直线 $OC$ 的斜率 $k_{OC}=\dfrac 1{\sqrt 2}$，求椭圆的方程．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac {x^2}3+\dfrac {\sqrt 2y^2}3=1 $
【解析】
记 $\dfrac 1{a^2}=\alpha ,\dfrac 1{b^2}=\beta $，将 $y=1-x$ 代入椭圆方程 $\alpha x^2+\beta y^2=1$ 得$$(\alpha +\beta )x^2-2\beta x+(\beta -1)=0,$$设点 $A,B$ 的坐标分别为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则\[\begin{split}x_1+x_2&=\dfrac {2\beta }{\alpha +\beta },\\x_1x_2&=\dfrac {\beta -1}{\alpha +\beta }, \end{split}\]所以\[\begin{split}|AB|^2&=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 \\ &=2(x_1-x_2)^2 \\ &=2[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2] \\ &=\dfrac {8(\alpha +\beta -\alpha \beta )}{(\alpha +\beta )^2},\end{split}\]由 $|AB|=2\sqrt 2$，得$$\dfrac {\alpha +\beta -\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2} =1,$$即$$ \alpha ^2+3\alpha \beta +\beta ^2-\alpha -\beta =0, \qquad \cdots\cdots \text{ ① }$$设点 $C(x_0,y_0)$，则\[\begin{split}x_0&=\dfrac {x_1+x_2}2=\dfrac {\beta }{\alpha +\beta },\\ y_0&=1-x_0=\dfrac {\alpha }{\alpha +\beta }, \end{split}\]由 $k_{OC}=\dfrac 1{\sqrt 2}$，得 $\dfrac {x_0}{y_0}=\sqrt 2$，所以$$\beta =\sqrt 2\alpha .\qquad \cdots\cdots \text{ ② }$$由 ①，② 式得 $\alpha =\dfrac 13,\beta =\dfrac {\sqrt 2}3$，所以椭圆方程为 $\dfrac {x^2}3+\dfrac {\sqrt 2y^2}3=1.$
答案
解析
备注
