如图，以 $\triangle ABC$ 的一边 $BC$ 为直径做圆，分别交 $AB,AC$ 所在直线于点 $E,F$，过点 $E,F$ 分别作圆的切线交于一点 $P$，直线 $AP$ 与 $BF$ 交于一点 $D$．证明 $D,C,E$ 三点共线．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
连结 $EF,EC,CD$，则$$\angle PEF=\angle PFE=\angle EBF,$$由 $AF \perp BF$，得$$\angle BAF=90^\circ-\angle EBF=\dfrac 12\angle EPF,$$以 $P$ 为圆心，$PE$ 为半径作 $\odot P$，交直线 $BA$ 于点 $A'$，则$$\angle EA'F=\dfrac 12\angle EPF=\angle BAF,$$故 $A,A'$ 共点．所以 $PA=PE$，且$$\angle PAE+\angle ABC=\angle PEA+\angle PEC=90^\circ,$$得 $BC\perp AP$，因此 $C$ 是 $\triangle ABD$ 的垂心．所以 $CD\perp AB$，又因为 $CE\perp AB$，则 $D,E,C$ 三点共线．
答案
解析
备注
