已知函数 $f(x)=\sqrt {x+2}+k$，且存在 $a,b(a<b)$ 使 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的值域为 $[a,b]$，求实数 $k$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
$k\in \left(-\dfrac 94,-2\right]$
【解析】
由题设知 $f(x)$ 的定义域为 $x\geqslant {-2}$，由 $f(x)$ 的单调性，知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的值域为 $[a,b]$ 等价于方程 $f(x)=\sqrt {x+2}+k=x$ 有两个不等实根，即$$x^2-(2k+1)x+k^2-2=0(x\geqslant -2)$$有两个不等实根．故$$(2k+1)^2-4(k^2-2)>0,$$解得 $k>-\dfrac 94$．由 $f(x)=\sqrt {x+2}+k=x$ 知 $x\geqslant k$，即$$\dfrac {2k+1-\sqrt {(2k+1)^2-4(k^2-2)}}{2}\geqslant k,$$解得 $k \leqslant -2$，且当 $k \in \left(-\dfrac 94,-2\right]$ 时，$$\dfrac {2k+1-\sqrt {(2k+1)^2-4(k^2-2)}}{2}\geqslant -2$$恒成立．所以 $k\in \left(-\dfrac 94,-2\right]$．
答案
解析
备注
