已知定义在 $\mathbb R$ 上的可导函数 $f(x),g(x)$ 满足对任意 $x\in\mathbb R$ 恒有\[f'(x)g^2(x)+3f(x)g(x)g'(x)+2f(x)g'(x)>0,\]且 $g(x)>0$，若 $f(1)=0$，则不等式 $f(x)>0$ 的解集是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[f'(x)+\dfrac{3g(x)g'(x)+2g'(x)}{g^2(x)}\cdot f(x)>0,\]也即\[f'(x)+\left(3\ln g(x)-\dfrac{2}{g(x)}\right)'\cdot f(x)>0,\]也即\[\dfrac{\left(f(x)\cdot {\rm e}^{3\ln g(x)-\frac{2}{g(x)}}\right)'}{{\rm e}^{3\ln g(x)-\frac{2}{g(x)}}}>0,\]于是函数\[h(x)=f(x)\cdot \dfrac{g^3(x)}{{\rm e}^{\frac 2{g(x)}}}\]单调递增，且 $h(1)=0$，于是不等式 $f(x)>0$，即\[h(x)>0\]的解集为 $(1,\infty)$．
题目
答案
解析
备注
