如图，已知二次函数 $y=\dfrac 49x^2-4$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$，$\odot O$ 的半径为 $\sqrt 5$，$P$ 为 $\odot O$ 上一动点．连接 $PB$，若 $E$ 为 $PB$ 的中点，连接 $OE$，求 $OE$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{5+\sqrt 5}2$
【解析】
由二次函数解析式可得点 $B(3,0)$，点 $C(0,-4)$．
连接 $BC$ 并取中点 $F$，连接 $OF,EF,CP$．
显然 $OF=\dfrac 12BC=\dfrac 52$，$EF=\dfrac 12 CP=\dfrac{\sqrt 5}2$，
所以 $OE\leqslant OF+EF=\dfrac{5+\sqrt 5}2$，
即 $OE$ 的最大值为 $\dfrac{5+\sqrt 5}2$．
连接 $BC$ 并取中点 $F$，连接 $OF,EF,CP$．
显然 $OF=\dfrac 12BC=\dfrac 52$，$EF=\dfrac 12 CP=\dfrac{\sqrt 5}2$，所以 $OE\leqslant OF+EF=\dfrac{5+\sqrt 5}2$，
即 $OE$ 的最大值为 $\dfrac{5+\sqrt 5}2$．
答案
解析
备注
