在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，若 $x_1x_2+y_1y_2=0$，且 $A,B$ 均不为原点，则称 $A$ 和 $B$ 互为正交点．
比如：$A(1,1),B(2,-2)$，其中 $1\times 2+1\times(-2)=0$，那么 $A$ 和 $B$ 互为正交点．
比如：$A(1,1),B(2,-2)$，其中 $1\times 2+1\times(-2)=0$，那么 $A$ 和 $B$ 互为正交点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
点 $M$ 和 $N$ 互为正交点，求 $\angle MON$ 的度数；标注答案$\angle MON=90^\circ$解析设点 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则 $x_1x_2+y_1y_2=0$．
① 当点 $M$ 在坐标轴上时，
若点 $M$ 在 $y$ 轴上，则 $x_1=0,y_1\ne 0$，
从而得到 $x_2\ne 0,y_2=0$，即点 $N$ 在 $x$ 轴上．
同理可得点 $M$ 在 $x$ 轴上时，点 $N$ 在 $y$ 轴上．
所以此时 $\angle MON=90^\circ$．
② 当点 $M$ 不在坐标轴上时，
如图，过点 $M$ 作 $MP\perp x$ 轴于点 $P$，过点 $N$ 作 $NQ\perp x$ 轴于点 $Q$．
由 $x_1x_2+y_1y_2=0$，可得 $OP\cdot OQ+MP\cdot NQ=0$，
所以 $\dfrac{OP}{NQ}=\dfrac{MP}{OQ}$，
从而 $\triangle MPO\backsim \triangle OQN$，
所以 $\angle OMP=\angle NOQ$，
故而有 $\angle MOP+\angle NOQ=90^\circ$，即 $\angle MON=90^\circ$．
当点 $M,N$ 在不同象限时同理可得 $\angle MON=90^\circ$．
综上所述，$\angle MON=90^\circ$． -
点 $C,D$ 是以 $(0,2)$ 为圆心，半径为 $2$ 的圆上的正交点，以线段 $CD$ 为边，构造正方形 $CDEF$，原点 $O$ 在正方形 $CDEF$ 的外部，求线段 $OE$ 长度的取值范围．标注答案$4<OE\leqslant 2+2\sqrt 5$解析由第1问可得 $\angle COD=90^\circ$，
所以 $CD$ 是以 $(0,2)$ 为圆心，半径为 $2$ 的圆的直径，即 $CD=4$．
如图，记点 $(0,2)$ 为 $G$，连接 $GE$，则 $GE=2\sqrt 5$．
显然 $OE\geqslant OG+GE$，
所以当点 $E$ 在 $y$ 轴上时，$OE$ 取得最大值，最大值为 $2+2\sqrt 5$；
当点 $E$ 在 $x$ 轴上时，$OE$ 取得最小值，此时 $OE=DE=4$，
但是点 $D$ 不能与原点重合，所以 $OE>4$．
综上所述，$4<OE\leqslant 2+2\sqrt 5$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
