如图，在 $\triangle ACE$ 中，$CA=CE$，$\angle CAE=30^\circ$，$\odot O$ 经过点 $C$，且圆的直径 $AB$ 在线段 $AE$ 上．设点 $D$ 是线段 $AC$ 上任意一点（不含端点），连接 $OD$，当 $\dfrac 12CD+OD$ 的最小值为 $6$ 时，求 $\odot O$ 的直径 $AB$ 的长．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\odot O$ 的直径 $AB$ 的长为 $8\sqrt 3$
【解析】
如图，连接 $OC$，则 $OC=OA$，
所以 $\angle COE=2\angle CAE=60^\circ$．
过点 $C$ 作 $CF\parallel AE$ 交 $\odot O$ 于点 $F$，则 $\angle ACF=30^\circ$，$\angle OCF=60^\circ$．
从而 $\sin \angle ACF=\dfrac 12$．
过点 $O$ 作 $OG\perp CF$ 于点 $G$，交 $AC$ 于点 $D$．
此时 $\dfrac 12CD+OD$ 最小，最小值即为 $OG$ 的长，所以 $OG=6$．
在 $\mathrm{Rt}\triangle OGC$ 中，$OC=\dfrac{OG}{\cos \angle OCF}=4\sqrt 3$．
从而 $AB=2OC=8\sqrt 3$．
所以 $\angle COE=2\angle CAE=60^\circ$．
过点 $C$ 作 $CF\parallel AE$ 交 $\odot O$ 于点 $F$，则 $\angle ACF=30^\circ$，$\angle OCF=60^\circ$．
从而 $\sin \angle ACF=\dfrac 12$．
过点 $O$ 作 $OG\perp CF$ 于点 $G$，交 $AC$ 于点 $D$．
此时 $\dfrac 12CD+OD$ 最小，最小值即为 $OG$ 的长，所以 $OG=6$．在 $\mathrm{Rt}\triangle OGC$ 中，$OC=\dfrac{OG}{\cos \angle OCF}=4\sqrt 3$．
从而 $AB=2OC=8\sqrt 3$．
答案
解析
备注
