查看数据源：590841a4060a05000980b04f
$A,B,C,D$ 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建？
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    几何部分
    >
    线段最值
    >
    费马点
【答案】
当点 $E$、点 $M$、点 $P$、点 $Q$、点 $N$、点 $F$ 共线时，整个公路系统的总长最小值为 $EF$ 的长．此时 $P,Q$ 在 $EF$ 上，如图所示．
【解析】
如图所示，将 $\triangle ABP$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60^\circ$，得到 $\triangle EBM$；同样将 $\triangle DCQ$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60^\circ$，得到 $\triangle FCN$．连接 $AE,DF$，则 $\triangle ABE,\triangle DCF$ 均为等边三角形，连接 $PM,QN$，则 $\triangle BPM,\triangle CQN$ 均为等边三角形．所以当点 $E$、点 $M$、点 $P$、点 $Q$、点 $N$、点 $F$ 共线时，整个公路系统的总长最小值为 $EF$ 的长．此时 $P,Q$ 在 $EF$ 上，如图所示．
答案 解析 备注
0.169883s