如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，$\triangle ABE $ 是等边三角形，$M$ 为对角线 $BD$ 上任意一点，将 $BM$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60^\circ$ 得到 $BN$，连接 $AM,CM,EN$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
当 $M$ 点在何处时，$AM+CM$ 的值最小；标注答案当点 $M$ 在 $AC$ 上，即点 $M$ 与点 $O$ 重合时，$AM+CM$ 的值最小解析如图，连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$，则 $AM+CM\geqslant AC$．
所以当点 $M$ 在 $AC$ 上，即点 $M$ 与点 $O$ 重合时，$AM+CM$ 的值最小． -
当 $M$ 点在何处时，$AM+BM+CM$ 的值最小，并说明理由；标注答案当 $E,N,M,C$ 四点共线时，$AM+BM+CM$ 的值最小解析如图，连接 $CE,MN$，则 $\triangle BMN$ 为等边三角形．
所以 $AM+BM+CM=EN+NM+MC\geqslant CE$．
故当 $E,N,M,C$ 四点共线时，$AM+BM+CM$ 的值最小，最小值即为 $CE$ 的长，此时点 $M$ 位于 $BD$ 与 $CE$ 的交点处． -
当 $AM+BM+CM$ 的最小值为 $\sqrt3+1$ 时，求正方形的边长．标注答案$\sqrt2$解析如图，连接 $CE$，则 $CE=\sqrt 3+1$．
过 $E$ 点作 $EF\perp BC$ 交 $CB$ 的延长线于 $F$，则 $\angle EBF=30^\circ$．
设正方形的边长为 $2a$，则 $EF=a$，$BF=\sqrt 3a$，
所以 $FC=(\sqrt 3+2)a$．
在 ${\mathrm Rt}\triangle EFC$ 中，有 $ a^2+(\sqrt 3+2)^2a^2=(\sqrt 3+1)^2$，
解得 $a=\dfrac{\sqrt 2}2$，
所以正方形的边长为 $\sqrt2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
