在 $\triangle ABC$ 中，点 $P$ 为 $BC$ 的中点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
如图1，求证：$AP<\dfrac12\left(AB+AC\right)$；标注答案$AP<\dfrac12\left(AB+AC\right)$解析如图，延长 $AP$ 至点 $F$，使得 $PF=AP$，连接 $BF$．
易证 $\triangle APC\cong\triangle FPB$，所以 $AC=FB$．
从而 $AB+AC=AB+BF>AF$，
即 $AP<\dfrac12\left(AB+AC\right)$． -
延长 $AB$ 到点 $D$，使得 $BD=AC$，延长 $AC$ 至点 $E$，使得 $CE=AB$，连接 $DE$．
$(1)$ 如图2，连接 $BE$，若 $\angle BAC=60^\circ$，请你探究线段 $BE$ 与 $AP$ 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
$(2)$ 请在图3中证明：$BC\geqslant\dfrac12DE$．标注答案$(1)$ $BE=2AP$
$(2)$ 略解析$(1)$ $BE=2AP$，证明如下：
因为 $BD+AB=AC+CE$，$\angle BAC=60^\circ$，
所以 $\triangle ADE$ 为等边三角形．
如图，在 $DE$ 上取一点 $G$，使得 $DG=DB$，连接 $BG$，则 $\triangle BDG$ 为等边三角形．
连接 $CG,PG$，则四边形 $ABGC$ 为平行四边形，
所以点 $A,P,G$ 三点共线，故 $AG=2AP$．
易证 $\triangle DGA\cong\triangle DBE$，则 $BE=GA=2AP$．
$(2)$ 过点 $C$ 作 $CH\parallel AB$ 且 $CH=BD$，连接 $DH,HE$，则四边形 $BDHC$ 为平行四边形．
易证 $\triangle ABC\cong\triangle CEH$，所以 $DH=BC=EH$．
由三角形三边关系定理可得 $DH+EH>DE$．
而当 $D,H,E$ 三点共线时，有 $DH+EH=DE$，
所以 $BC\geqslant\dfrac12DE$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
