已知直线过点 $M\left( {2 , 1} \right)$ 且与 $x,y$ 轴正半轴分别交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，求：
【难度】
【出处】
无
【标注】
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$\triangle OAB$ 面积的最小值；标注答案$4$解析设 $\angle BAO=x$，则
三角形 $OAB$ 的面积$$S_{\triangle OAB}=\dfrac 12\left(2+\dfrac{1}{\tan x}\right)\left(1+2\tan x\right)=2+2\tan x+\dfrac{1}{2\tan x}\geqslant 4,$$等号当且仅当 $\tan x=\dfrac 12$ 时取得，因此三角形 $AOB$ 面积的最小值为 $4$． -
$\triangle OAB$ 周长的最小值．标注答案$10$解析三角形 $OAB$ 的周长$$c_{\triangle OAB}=3+\dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{2}{\cos x}+\dfrac{1}{\tan x}+2\tan x,$$令 $\tan\dfrac{x}{2}=t$，$t\in (0,1)$，则\footnote{可以看出，万能公式是三角代数式通往多项式的桥梁，因此是“万不得已才能用的公式”}$$c_{\triangle OAB}=3+\dfrac{1+t^2}{2t}+2\dfrac{2\left(1+t^2\right)}{1-t^2}+\dfrac{1-t^2}{2t}+\dfrac{4t}{1-t^2}=1+\dfrac{1}{t}+\dfrac{4}{1-t}\geqslant 10,$$这里用到了柯西不等式，取得等号的条件是 $t=\dfrac{1}{3}$，因此三角形 $AOB$ 周长的最小值为 $10$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
