已知直线过点 $M\left( {2 , 1} \right)$ 且与 $x,y$ 轴正半轴分别交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，求：
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
$\triangle OAB$ 面积的最小值；标注答案$4$解析如图，设直线在第一象限内的线段被 $M$ 平分时与 $x,y$ 轴的交点分别为 $P,Q$．接下来证明此时三角形 $AOB$ 的面积最小．
若不然，假设 $AM<BM$，则$$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle POQ}-S_{\triangle MAP}+S_{\triangle MBQ}=S_{\triangle POQ}-\dfrac{1}{2} MP\cdot \left(AM-BM\right)>S_{\triangle POQ},$$因此当 $M$ 平分 $AB$ 时三角形 $AOB$ 的面积最小\footnote{该结论与 $\angle AOB$ 是否是直角无关}，最小值为 $4$． -
$\triangle OAB$ 周长的最小值．标注答案$10$解析过 $M$ 作圆 $E$ 与 $x,y$ 轴均相切，作圆 $E$ 在 $M$ 处的切线，此时三角形 $AOB$ 的周长最小，如左图．若不然，$AB$ 为圆 $E$ 的割线，此时可以作与该割线平行的切线，则显然有三角形 $AOB$ 的周长小于切线与两坐标轴围成的三角形的周长（大小为 $OP+OQ$），如右图．
经计算可得圆 $E:(x-5)^2+(y-5)^2=25$，$OP+OQ=10$，于是三角形 $AOB$ 周长的最大值为 $10$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
