已知直线过点 $M\left( {2 , 1} \right)$ 且与 $x,y$ 轴正半轴分别交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，求：
【难度】
【出处】
无
【标注】
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$\triangle OAB$ 面积的最小值；标注答案$4$解析设直线的横截距和纵截距分别为 $\dfrac 1a$ 和 $\dfrac 1b$，则 $2a+b=1$（$a,b>0$）．由于$$1=2a+b\geqslant \sqrt{2ab},$$于是三角形 $AOB$ 的面积 $\dfrac{1}{2ab}$ 的最小值为 $4$．
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$\triangle OAB$ 周长的最小值．标注答案$10$解析设直线的横截距和纵截距分别为 $\dfrac 1a$ 和 $\dfrac 1b$，则 $2a+b=1$（$a,b>0$）．三角形 $AOB$ 的周长为$$\dfrac 1a+\dfrac 1b+\sqrt{\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}}=\dfrac{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}{ab}=\dfrac{2}{a+b-\sqrt{a^2+b^2}},$$而根据柯西不等式$$(3a+4b)^2\leqslant 25(a^2+b^2),$$于是$$\sqrt{a^2+b^2}\geqslant \dfrac 35a+\dfrac 45b,$$因此$$a+b-\sqrt{a^2+b^2}\leqslant \dfrac{2a+b}{5}=\dfrac 15,$$从而三角形 $AOB$ 的周长$$\dfrac{2}{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}\geqslant 10,$$等号当且仅当 $\dfrac{a}{b}=\dfrac 34$ 时取得，因此三角形 $AOB$ 周长的最小值为 $10$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
