已知 $a,b>0$，$n\in\mathbb N^*$，求证：$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+2b}+\cdots +\dfrac{1}{a+nb}<\dfrac{n}{\sqrt{\left(a+\dfrac 12b\right)\left(a+\dfrac{2n+1}2b\right)}}.$$
【难度】
【出处】
2008年浙江大学自主招生保送生测试试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} LHS&<\sqrt n\cdot \sqrt{\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(a+2b)^2}+\cdots +\dfrac{1}{(a+nb)^2}}\\
&<\sqrt n \cdot \sqrt{\dfrac{1}{\left(a+\dfrac 12b\right)\left(a+\dfrac 32b\right)}+\dfrac{1}{\left(a+\dfrac 32b\right)\left(a+\dfrac 52b\right)}+\cdots +\dfrac{1}{\left(a+\dfrac{2n-1}2b\right)\left(a+\dfrac{2n+1}2\right)}}\\
&=\sqrt n\cdot \sqrt{\dfrac 1b\left(\dfrac 1{a+\dfrac 12b}-\dfrac{1}{a+\dfrac 32b}+\dfrac{1}{a+\dfrac 32b}-\dfrac 1{a+\dfrac 52b}+\cdots +\dfrac{1}{a+\dfrac{2n-1}2b}-\dfrac{1}{a+\dfrac{2n+1}2b}\right)}\\
&=RHS,\end{split}\]因此原不等式得证．
&<\sqrt n \cdot \sqrt{\dfrac{1}{\left(a+\dfrac 12b\right)\left(a+\dfrac 32b\right)}+\dfrac{1}{\left(a+\dfrac 32b\right)\left(a+\dfrac 52b\right)}+\cdots +\dfrac{1}{\left(a+\dfrac{2n-1}2b\right)\left(a+\dfrac{2n+1}2\right)}}\\
&=\sqrt n\cdot \sqrt{\dfrac 1b\left(\dfrac 1{a+\dfrac 12b}-\dfrac{1}{a+\dfrac 32b}+\dfrac{1}{a+\dfrac 32b}-\dfrac 1{a+\dfrac 52b}+\cdots +\dfrac{1}{a+\dfrac{2n-1}2b}-\dfrac{1}{a+\dfrac{2n+1}2b}\right)}\\
&=RHS,\end{split}\]因此原不等式得证．
答案
解析
备注
