已知椭圆的两个焦点为 ${F_1}\left( { - 1,0} \right)$，${F_2}\left( {1,0} \right)$，且椭圆与直线 $y = x - \sqrt 3 $ 相切．
【难度】
【出处】
2011年清华大学夏令营试题
【标注】
-
求椭圆的方程；标注答案$\dfrac{{{x^2}}}{2} + {y^2} = 1$解析设椭圆为 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$，则$$\begin{cases}
{a^2} + {b^2} = 3 ,\\
{a^2} - {b^2} = 1 ,
\end{cases}$$解得 ${a^2} = 2$，${b^2} = 1$．
于是椭圆方程为 $\dfrac{{{x^2}}}{2} + {y^2} = 1$； -
过 ${F_1}$ 作两条互相垂直的直线 ${l_1}$，${l_2}$，与椭圆分别交与 $P,Q,M,N$，求四边形 $PNQM$ 面积的最大值与最小值．标注答案$2$，$\dfrac{{16}}{9}$解析根据焦点弦长公式$$l = \dfrac{{2a{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}{{\sin }^2}\alpha }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{1 + {{\sin }^2}\alpha }}.$$设 ${l_1}$、${l_2}$ 与焦点连线所成角分别为 $\theta $、$\theta + \dfrac{{{\pi }}}{2}$，$\theta \in \left[ {0,\dfrac{{{\pi }}}{2}} \right)$，则\[\begin{split}{S_{PNQM}} &= \dfrac{1}{2}\left| {PQ} \right| \cdot \left| {MN} \right| \\&= \dfrac{4}{{\left( {1 + {{\sin }^2}\theta } \right)\left( {1 + {{\cos }^2}\theta } \right)}}\\& = \dfrac{4}{{2 + \dfrac{1}{4}{{\sin }^2}2\theta }}.\end{split}\]因为 $\theta \in \left[ {0,\dfrac{{{\pi }}}{2}} \right)$，所以 ${\sin ^2}2\theta \in \left[ {0,1} \right]$，于是 ${S_{PNQM}}$ 的最大值为 $\dfrac{4}{2} = 2$，最小值为 $\dfrac{4}{{2 + \dfrac{1}{4}}} = \dfrac{{16}}{9}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
