已知 $A,B,C\in\left(0,\dfrac{\mathrm \pi} 2\right)$，且 $\sin^2 A+\sin ^2 B+\sin ^2C=1$，求 $A+B+C$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3\arcsin{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$
【解析】
由 $\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=1$，可知 $\cos{2A}+\cos{2B}+\cos{2C}=1$．
令 $x=2A,y=2B,z=2C$，则 $0<x,y,z<{\mathrm \pi}$，$\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}=1$，$A+B+C=\dfrac{x+y+z}{2}$．
不妨设 $x \leqslant y \leqslant z$．
情形一 若 $0<x \leqslant y \leqslant z<\dfrac{\mathrm \pi} {2}$，则由琴生不等式可知$$\cos{\dfrac{x+y+z}{3}}\geqslant \dfrac{\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}}{3}=\dfrac{1}{3},$$故 $\dfrac{x+y+z}{3} \leqslant \arccos{\dfrac{1}{3}}$，当且仅当 $x=y=z=\arccos{\dfrac{1}{3}}$ 时等号成立，所以此时 $x+y+z$ 的最大值为 $3\arccos{\dfrac{1}{3}}$．
情形二 若 $z \geqslant \dfrac{\mathrm \pi} {2}$，此时显然有 $0<x \leqslant y \leqslant \dfrac{\mathrm \pi} {2}$．
固定 $z$，由琴生不等式可知 $x=y$ 时，$x+y$ 取得最大值．故原问题等价于"已知 $x,w\in \left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]$，$2\cos{x}-\cos{w}=1$，求 ${\mathrm \pi} +2x-w$ 的最大值"．
令 $g(x)=2x-w=2x-\arccos{\left(2\cos{x}-1\right)}$，因为 $2\cos{x}=1+\cos{w} \geqslant 1$，所以 $0<x \leqslant \dfrac{\mathrm \pi} {3}$．
下面我们来证明$$g'(x)=2-\dfrac{2\sin{x}}{\sqrt{4\cos{x}-4\cos^2{x}}}\geqslant 0.$$事实上，用分析法\[\begin{split}
g'(x)\geqslant 0&\Leftarrow \sin^2{x} \leqslant 4\cos{x}-4\cos^2{x}\\
&\Leftarrow 3\cos^2{x}-4\cos{x}+1\leqslant 0\\
&\Leftarrow \left(\cos{x}-1\right)\left(3\cos{x}-1\right)\leqslant 0,
\end{split}\]由于 $0<x \leqslant \dfrac{\mathrm \pi} {3}$，所以 $\dfrac{1}{2}\leqslant \cos{x}<1$，故 $\left(\cos{x}-1\right)\left(3\cos{x}-1\right)\leqslant 0$ 成立．因此$$g(x)_{\max}=g \left(\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right)=\dfrac{2{\mathrm \pi}}{3}-\dfrac{\mathrm \pi} {2},$$故此时 $\left({\mathrm \pi} +2x-w\right)_{\max}=\dfrac{7{\mathrm \pi}}{6}$．由于 $3\arccos{\dfrac{1}{3}}>\dfrac{7{\mathrm \pi}}{6}$，所以综合情形一与情形二可知，$A+B+C$ 的最大值为 $\dfrac{3}{2}\arccos{\dfrac{1}{3}}$．
令 $x=2A,y=2B,z=2C$，则 $0<x,y,z<{\mathrm \pi}$，$\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}=1$，$A+B+C=\dfrac{x+y+z}{2}$．
不妨设 $x \leqslant y \leqslant z$．
固定 $z$，由琴生不等式可知 $x=y$ 时，$x+y$ 取得最大值．故原问题等价于"已知 $x,w\in \left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]$，$2\cos{x}-\cos{w}=1$，求 ${\mathrm \pi} +2x-w$ 的最大值"．
令 $g(x)=2x-w=2x-\arccos{\left(2\cos{x}-1\right)}$，因为 $2\cos{x}=1+\cos{w} \geqslant 1$，所以 $0<x \leqslant \dfrac{\mathrm \pi} {3}$．
下面我们来证明$$g'(x)=2-\dfrac{2\sin{x}}{\sqrt{4\cos{x}-4\cos^2{x}}}\geqslant 0.$$事实上，用分析法\[\begin{split}
g'(x)\geqslant 0&\Leftarrow \sin^2{x} \leqslant 4\cos{x}-4\cos^2{x}\\
&\Leftarrow 3\cos^2{x}-4\cos{x}+1\leqslant 0\\
&\Leftarrow \left(\cos{x}-1\right)\left(3\cos{x}-1\right)\leqslant 0,
\end{split}\]由于 $0<x \leqslant \dfrac{\mathrm \pi} {3}$，所以 $\dfrac{1}{2}\leqslant \cos{x}<1$，故 $\left(\cos{x}-1\right)\left(3\cos{x}-1\right)\leqslant 0$ 成立．因此$$g(x)_{\max}=g \left(\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right)=\dfrac{2{\mathrm \pi}}{3}-\dfrac{\mathrm \pi} {2},$$故此时 $\left({\mathrm \pi} +2x-w\right)_{\max}=\dfrac{7{\mathrm \pi}}{6}$．由于 $3\arccos{\dfrac{1}{3}}>\dfrac{7{\mathrm \pi}}{6}$，所以综合情形一与情形二可知，$A+B+C$ 的最大值为 $\dfrac{3}{2}\arccos{\dfrac{1}{3}}$．
答案
解析
备注
