已知函数 $f(x)=\ln(ax+1)+\dfrac{1-x}{1+x}(x\geqslant0)$ 的最小值为 $\ln 2$，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\{1\}$
【解析】
分离变量法．
题意等价于 $a\geqslant\dfrac{2\mathrm{e}^{\frac{x-1}{x+1}}-1}{x}$，令右边为 $h(x)$，求导得$$h'(x)=\dfrac{1-\mathrm{e}^{\frac{x-1}{x+1}}\left[1+\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2\right]}{x^2},$$令 $\dfrac{x-1}{x+1}=t$，则$$t=1-\dfrac{2}{x+1}\in[-1,1),$$令 $ r(t)=\mathrm{e}^t(1+t^2)$，则$$ r'(t)=\mathrm{e}^t(t^2+2t+1)=\mathrm{e}^t(t+1)^2\geqslant0,$$所以 $ r(t)$ 在 $ [-1,1)$ 上单调递增．
因此当 $ -1\leqslant t<0 $ 时，$ r(t)<r(0)=1 $；当 $ 0\leqslant t<1 $ 时，$ r(t)>r(0)=1 $．于是当 $ 0\leqslant x<1 $ 时，$ h'(x)>0 $，当 $ x\geqslant1 $ 时，$ h'(x)\leqslant0 $．从而$$ \max\{h(x)\}=h(1)=1,$$因此 $ a\geqslant 1 $．因为$$ a=\dfrac{2\mathrm{e}^{\frac{x-1}{x+1}}-1}{x},$$对 $ x $ 有解，所以 $ a $ 有唯一取值 $ a=1$．
题意等价于 $a\geqslant\dfrac{2\mathrm{e}^{\frac{x-1}{x+1}}-1}{x}$，令右边为 $h(x)$，求导得$$h'(x)=\dfrac{1-\mathrm{e}^{\frac{x-1}{x+1}}\left[1+\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2\right]}{x^2},$$令 $\dfrac{x-1}{x+1}=t$，则$$t=1-\dfrac{2}{x+1}\in[-1,1),$$令 $ r(t)=\mathrm{e}^t(1+t^2)$，则$$ r'(t)=\mathrm{e}^t(t^2+2t+1)=\mathrm{e}^t(t+1)^2\geqslant0,$$所以 $ r(t)$ 在 $ [-1,1)$ 上单调递增．
因此当 $ -1\leqslant t<0 $ 时，$ r(t)<r(0)=1 $；当 $ 0\leqslant t<1 $ 时，$ r(t)>r(0)=1 $．于是当 $ 0\leqslant x<1 $ 时，$ h'(x)>0 $，当 $ x\geqslant1 $ 时，$ h'(x)\leqslant0 $．从而$$ \max\{h(x)\}=h(1)=1,$$因此 $ a\geqslant 1 $．因为$$ a=\dfrac{2\mathrm{e}^{\frac{x-1}{x+1}}-1}{x},$$对 $ x $ 有解，所以 $ a $ 有唯一取值 $ a=1$．
答案
解析
备注
