已知函数 $f\left(x\right)=x ^3 -3ax ^2 +3x+1$．
【难度】
【出处】
2010年高考大纲全国II卷（文）
【标注】
-
设 $ a=2 $，求 $ f\left(x\right) $ 的单调区间；标注答案略解析当 $a=2$ 时，$f\left(x\right) = x^3 -6x^2+ 3x +1$，$f'\left(x\right)=3\left(x-2+\sqrt 3\right)\left(x-2-\sqrt 3\right) $．
当 $x \in \left(-\infty ,2-\sqrt 3\right)$ 时，$f'\left(x\right) > 0$，$f\left(x\right) $ 在 $\left(-\infty, 2-\sqrt 3 \right)$ 上单调递增；
当 $x \in \left(2-\sqrt 3 ,2+\sqrt 3\right)$ 时，$f'\left(x\right) < 0$，$f\left(x\right) $ 在 $\left( 2-\sqrt 3 , 2+\sqrt 3 \right)$ 上单调递减；
当 $x \in \left(2+\sqrt 3 ,+\infty\right)$ 时，$f'\left(x\right) > 0$，$f\left(x\right) $ 在 $\left( 2+\sqrt 3,+\infty \right)$ 上单调递增．
综上，$f\left(x\right) $ 的单调增区间是 $\left(-\infty, 2-\sqrt 3 \right)$ 和 $\left( 2+\sqrt 3,+\infty \right)$，$f\left(x\right) $ 的单调减区间是 $\left( 2-\sqrt 3 , 2+\sqrt 3 \right)$． -
设 $ f\left(x\right) $ 在区间 $ \left(2,3\right) $ 中至少有一个极值点，求 $ a $ 的取值范围．标注答案略解析根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=3\left(x^2-2ax+1\right),$$所以函数 $\varphi(x)=x+\dfrac 1x$ 与直线 $y=2a$ 在 $(2,3)$ 内至少有一个交点．
当 $2<x<3$ 时，$$\dfrac 52<\varphi(x)<\dfrac {10}{3},$$所以$$\dfrac 52<2a<\dfrac {10}{3},$$解得 $\dfrac 54<a<\dfrac 53$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
