设 $n$ 是不小于 $3$ 的正整数，用 $f(n)$ 来记不能整除 $n$ 的最小正整数（如 $f(12)=5$，$f(420)=8$ 等等），记使得 $f^{(k)}(n)=2$ 的最小的正整数 $k$ 为 $n$ 的长度，求 $n$ 的长度最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
$n$ 的长度的最大值为 $3$．这是因为 $f(n)$ 必然形如 $p^t$，其中 $p$ 为质数，$t$ 为正整数．而\[f\left(p^t\right)=\begin{cases}2,& p=2,k=1,\\
3, & p=2,k\geqslant 2,\\ 3, & p\geqslant 2.\end{cases}\]因此 $n$ 的长度的最大值为 $3$．
3, & p=2,k\geqslant 2,\\ 3, & p\geqslant 2.\end{cases}\]因此 $n$ 的长度的最大值为 $3$．
答案
解析
备注
