已知正数 $a,b,c$ 满足 $2a+4b+7c\leqslant 2abc$，求 $a+b+c$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \dfrac{15}{2} $
【解析】
先用拉格朗日乘数法确定最值位置．\[\begin{cases}
1+2\lambda bc-2\lambda=0,\\
1+2\lambda ca-4\lambda=0,\\
1+2\lambda ab-7\lambda=0,\\
2a+4b+7c=2abc.\end{cases}\]由第一、二、三个方程可得\[\dfrac{1}{bc}=\dfrac{2\lambda}{2\lambda-1},\dfrac{1}{ca}=\dfrac{2\lambda}{4\lambda-1},\dfrac{1}{ab}=\dfrac{2\lambda}{7\lambda-1},\]而由第四个方程，有\[\dfrac{2}{bc}+\dfrac{4}{ca}+\dfrac{7}{ab}=2,\]因此\[\dfrac{4\lambda}{2\lambda-1}+\dfrac{8\lambda}{4\lambda-1}+\dfrac{14\lambda}{7\lambda-1}=2,\]解得 $\lambda =-\dfrac 18$，进而\[bc=5,ca=6,ab=\dfrac{15}2,\]解得\[(a,b,c)=\left(3,\dfrac 52,2\right).\]接下来证明．根据题意，有\[\begin{split}2abc&\geqslant \underbrace{\dfrac a6+\cdots+\dfrac a6}_{12}+\underbrace{\dfrac b5+\cdots+\dfrac b5}_{20}+\underbrace{\dfrac c4+\cdots+\dfrac c4}_{28}\\
&\geqslant 60\cdot\left(\dfrac{a^{12}\cdot b^{20}\cdot c^{28}}{6^{12}\cdot 5^{20}\cdot 4^{28}}\right)^{\frac{1}{60}},\end{split}\]于是\[a^6\cdot b^5\cdot c^4\geqslant 30\cdot \left(\dfrac{1}{6^{12}\cdot 5^{20}\cdot 4^{28}}\right)^{\frac{1}{8}},\]而\[a+b+c\geqslant 15\cdot\left(\dfrac{a^6\cdot b^5\cdot c^4}{6^6\cdot 5^5\cdot 4^4}\right)^{\frac{1}{15}}\geqslant \dfrac{15}{2},\]等号当且仅当 $(a,b,c)=\left(3,\dfrac 52,2\right)$ 时取得．因此所求 $a+b+c$ 的最小值为 $\dfrac{15}2$．
1+2\lambda bc-2\lambda=0,\\
1+2\lambda ca-4\lambda=0,\\
1+2\lambda ab-7\lambda=0,\\
2a+4b+7c=2abc.\end{cases}\]由第一、二、三个方程可得\[\dfrac{1}{bc}=\dfrac{2\lambda}{2\lambda-1},\dfrac{1}{ca}=\dfrac{2\lambda}{4\lambda-1},\dfrac{1}{ab}=\dfrac{2\lambda}{7\lambda-1},\]而由第四个方程，有\[\dfrac{2}{bc}+\dfrac{4}{ca}+\dfrac{7}{ab}=2,\]因此\[\dfrac{4\lambda}{2\lambda-1}+\dfrac{8\lambda}{4\lambda-1}+\dfrac{14\lambda}{7\lambda-1}=2,\]解得 $\lambda =-\dfrac 18$，进而\[bc=5,ca=6,ab=\dfrac{15}2,\]解得\[(a,b,c)=\left(3,\dfrac 52,2\right).\]接下来证明．根据题意，有\[\begin{split}2abc&\geqslant \underbrace{\dfrac a6+\cdots+\dfrac a6}_{12}+\underbrace{\dfrac b5+\cdots+\dfrac b5}_{20}+\underbrace{\dfrac c4+\cdots+\dfrac c4}_{28}\\
&\geqslant 60\cdot\left(\dfrac{a^{12}\cdot b^{20}\cdot c^{28}}{6^{12}\cdot 5^{20}\cdot 4^{28}}\right)^{\frac{1}{60}},\end{split}\]于是\[a^6\cdot b^5\cdot c^4\geqslant 30\cdot \left(\dfrac{1}{6^{12}\cdot 5^{20}\cdot 4^{28}}\right)^{\frac{1}{8}},\]而\[a+b+c\geqslant 15\cdot\left(\dfrac{a^6\cdot b^5\cdot c^4}{6^6\cdot 5^5\cdot 4^4}\right)^{\frac{1}{15}}\geqslant \dfrac{15}{2},\]等号当且仅当 $(a,b,c)=\left(3,\dfrac 52,2\right)$ 时取得．因此所求 $a+b+c$ 的最小值为 $\dfrac{15}2$．
答案
解析
备注
