讨论关于 $x$ 的方程 $\left(x^2-1\right)^2-2\left|x^2-1\right|+k=0$ 的根的个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $k<0$ 时，$2$ 个；当 $k=0$ 时，$4$ 个；当 $0<k<1$ 时，$6$ 个；当 $k=1$ 时，$3$ 个；当 $k>1$ 时，$0$ 个
【解析】
原方程的根的个数即函数 $y=-\left(x^2-1\right)^2+2\left|x^2-1\right|$ 的图象与直线 $y=k$ 的交点个数．我们无法画出第一个函数的草图，因此需要借助复合函数将其分解为两个较为简单的函数$$y=-t^2+2|t|,t=x^2-1,$$然后组合在一起，如图．通过两个函数的草图，可以利用函数 $y=-t^2+2|t|$ 的图象由 $k$ 确定对应的 $t$ 的分布．问题的复杂性在于不同的 $t$ 对应的 $x$ 的值的个数可能是不一样的，这需要利用函数 $t=x^2-1$ 的图象来确定．
事实上，当 $t>-1$ 时，每个 $t$ 对应 $2$ 个 $x$；当 $t=-1$ 时，每个 $t$ 对应 $1$ 个 $x$；当 $t<-1$ 时，每个 $t$ 对应 $0$ 个 $x$．
例如，如果直线 $y=k$ 与函数 $y=-t^2+2|t|$ 的图象的交点横坐标落在区间 $(-\infty,-1)$ 上，那么这种交点（如 $t_1$）是找不到对应的 $x$ 的；而如果直线 $y=k$ 与函数 $y=-t^2+2|t|$ 的图象的交点横坐标落在区间 $(-1,+\infty)$ 上，那么每个交点（如 $t_2$）都可以找到两个 $x$ 的值与之对应（也就是方程的两个不同的根）．
因此不难得到答案，原方程根的个数为：当 $k<0$ 时，$2$ 个；当 $k=0$ 时，$4$ 个；当 $0<k<1$ 时，$6$ 个；当 $k=1$ 时，$3$ 个；当 $k>1$ 时，$0$ 个．
事实上，当 $t>-1$ 时，每个 $t$ 对应 $2$ 个 $x$；当 $t=-1$ 时，每个 $t$ 对应 $1$ 个 $x$；当 $t<-1$ 时，每个 $t$ 对应 $0$ 个 $x$．
例如，如果直线 $y=k$ 与函数 $y=-t^2+2|t|$ 的图象的交点横坐标落在区间 $(-\infty,-1)$ 上，那么这种交点（如 $t_1$）是找不到对应的 $x$ 的；而如果直线 $y=k$ 与函数 $y=-t^2+2|t|$ 的图象的交点横坐标落在区间 $(-1,+\infty)$ 上，那么每个交点（如 $t_2$）都可以找到两个 $x$ 的值与之对应（也就是方程的两个不同的根）．
因此不难得到答案，原方程根的个数为：当 $k<0$ 时，$2$ 个；当 $k=0$ 时，$4$ 个；当 $0<k<1$ 时，$6$ 个；当 $k=1$ 时，$3$ 个；当 $k>1$ 时，$0$ 个．
答案
解析
备注
