已知正实数 $a,b$ 使得不等式 $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\leqslant 2-bx^a$ 对任意 $x\in [0,1]$ 都成立，求当 $a$ 取最小值时 $b$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 14$
【解析】
设 $f(x)=2-\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}$，$g(x)=f(x)-bx^a$，则题意即不等式 $g(x)\geqslant 0$ 对任意 $x\in [0,1]$ 成立．考虑到函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac 12(1-x)^{-\frac 12}-\dfrac 12(1+x)^{-\frac 12},$$其二阶导函数$$f''(x)=\dfrac 14(1-x)^{-\frac 32}+\dfrac 14(1+x)^{-\frac 32},$$其三阶导函数$$f'''(x)=\dfrac 38(1-x)^{-\frac 52}-\dfrac 38(1+x)^{-\frac 52},$$因此 $f'''(x),f''(x),f'(x),f(x)$ 均在区间 $[0,1]$ 上单调递增，且 $f(0)=f'(0)=0$，$f''(0)=\dfrac 12$．
情形一 $0<a<1$．
此时 $g'(x)=f'(x)-abx^{a-1}$，$g(0)=0$，当 $x\to 0+$ 时，$g'(x)\to -\infty$，与题意不符．
情形二 $1\leqslant a<2$．
此时 $g''(x)=f''(x)-a(a-1)bx^{a-2}$，$g'(0)=0$，当 $x\to 0+$ 时，$g''(x)\to -\infty$，与题意不符．
情形三 $a=2$．
此时 $g''(x)=f''(x)-2b$，考虑到 $f''(0)=\dfrac 12$，于是 $b$ 的最大值为 $\dfrac 14$．
综上所述，当 $a$ 取最小值 $2$ 时，$b$ 的最大值为 $\dfrac 14$．
此时 $g'(x)=f'(x)-abx^{a-1}$，$g(0)=0$，当 $x\to 0+$ 时，$g'(x)\to -\infty$，与题意不符．
此时 $g''(x)=f''(x)-a(a-1)bx^{a-2}$，$g'(0)=0$，当 $x\to 0+$ 时，$g''(x)\to -\infty$，与题意不符．
此时 $g''(x)=f''(x)-2b$，考虑到 $f''(0)=\dfrac 12$，于是 $b$ 的最大值为 $\dfrac 14$．
综上所述，当 $a$ 取最小值 $2$ 时，$b$ 的最大值为 $\dfrac 14$．
答案
解析
备注
