求椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 上的点 $P$ 到点 $A(1,2)$ 的距离 $PA$ 的最大值与最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$PA$ 的最大值为 $\sqrt{\dfrac{\sqrt{673+208\sqrt{13}}}6+\dfrac{15}2}$，最小值为 $\sqrt{-\dfrac{\sqrt{673+208\sqrt{13}}}6+\dfrac{15}2}$
【解析】
设 $P(2\cos\theta,\sin\theta)$，则\[\begin{split} PA^2&=(2\cos\theta-1)^2+(\sin\theta-2)^2\\ &=3\cos^2\theta-4(\sin\theta+\cos\theta)+6\\ &=\dfrac 32(1+\cos 2\theta)-4\sqrt 2\sin\left(\theta+\dfrac{\mathrm \pi} 4\right)+6\\ &=\dfrac 32\sin 2t-4\sqrt 2\sin t+\dfrac{15}2\\ &=\sin t\cdot (3\cos t-4\sqrt 2)+\dfrac{15}2\end{split}\]其中 $t=\theta+\dfrac{\mathrm \pi} 4$．接下来的关键是计算函数$$f(x)=(1-x^2)(3x-4\sqrt 2)^2,x\in [-1,1]$$的最大值．函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=-2(3x-4\sqrt 2)(6x^2-4\sqrt 2x-3),$$于是当 $x=\dfrac{2\sqrt 2-\sqrt{26}}6$ 时，函数 $f(x)$ 取得区间 $[-1,1]$ 上的最大值，为$$f\left(\dfrac{2\sqrt 2-\sqrt{26}}{6}\right)=\dfrac{673+208\sqrt{13}}{36},$$进而所求距离 $PA$ 的最大值为 $\sqrt{\dfrac{\sqrt{673+208\sqrt{13}}}6+\dfrac{15}2}$，最小值为 $\sqrt{-\dfrac{\sqrt{673+208\sqrt{13}}}6+\dfrac{15}2}$．
答案
解析
备注
