题目 设函数 $f\left(x\right) = a \ln x + \dfrac{1-a}{2}{x^2}- bx \left(a \ne 1\right)$，曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1 , f\left(1\right)\right)$ 处的切线斜率为 $0$． 问题1 求 $b$； 答案1 $b=1$ 解析1 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{(1-a)x^2-bx+a}{x},$$曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处切线斜率为 $0$，因此 $f'(1)=1-a-b+a=0$，解得 $b=1$． 备注1 问题2 若存在 ${x_0}\geqslant 1$ 使得 $f\left({x_0}\right) < \dfrac{a}{a - 1}$，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $a$ 的取值范围是 $(-\sqrt 2-1,\sqrt 2-1)\cup (1,+\infty )$ 解析2 题意即函数 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty )$ 上的图象存在位于直线 $y=\dfrac a{a-1}$ 下方的部分．<br/>由 $(1)$ 知，函数 $f(x)=a\ln x+\dfrac{1-a}2x^2-x$，其导函数$$f'(x)=\dfrac{x-1}{x}\cdot [(1-a)x-a],$$记其中决定 $f'(x)$ 符号的部分为 $h(x)=(1-a)x-a$．<br/>注意到 $h(1)=1-2a$，因此按 $a$ 和 $1,\dfrac 12$ 的大小关系进行讨论．<br/><case>情形一</case> $a\leqslant \dfrac 12$．此时 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty )$ 上单调递增，其最小值为 $f(1)=-\dfrac{a+1}2$，依题意应有$$-\dfrac{a+1}2<\dfrac a{a-1},$$解得 $-\sqrt 2-1<a<\sqrt 2-1$．<br/><case>情形二</case> $\dfrac 12<a<1$．此时 $f(x)$ 在区间 $\left[1,\dfrac{a}{1-a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a}{1-a},+\infty \right)$ 上单调递增，其最小值为 $f\left(\dfrac{a}{1-a}\right)$，依题意应有$$a\ln\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{a^2}{2(1-a)}+\dfrac{a}{a-1}<\dfrac{a}{a-1},$$无解．<br/><case>情形三</case> $a>1$．此时由第一种情况中的不等式可知，$f(1)<\dfrac{a}{a-1}$，因此符合题意．<br/>综上，$a$ 的取值范围是 $(-\sqrt 2-1,\sqrt 2-1)\cup (1,+\infty )$． 备注2