题目 菱形纸片 $ABCD$ 的边长为 $2$，折叠菱形纸片，将 $B,D$ 两点重合在对角线 $BD$ 上的同一点处，折痕分别为 $EF,GH$．当重合点在对角线 $BD$ 上移动时，探究六边形 $AEFCHG$ 的周长的变化情况．<br><img src="/static/images/c0776cdbbf65c17d248345c75e29d328.png" class="img-responsive" /> 问题1 若 $\angle ABC=60^\circ$，如图1，当重合点在菱形的对称中心 $O$ 处时，六边形 $AEFCHG$ 的周长为<nn> </nn>．如图2，当重合点在对角线 $BD$ 上移动时，六边形 $AEFCHG$ 的周长<nn> </nn>（填"改变"或"不变"）． 答案1 $6$；不变 解析1 因为 $EF=AE=FC=CH=AG=GH=1$，所以周长为 $6$，<br/>$\triangle EBF,\triangle GHD$ 为等边三角形，<br/>所以 $EF=BE$，$GH=GD$．<br/>因为四边形 $FCDG,AEHD$ 为平行四边形．<br/>所以 $FC=GD=DH=AE$．<br/>同理 $CH=BE=AG$．<br/>所以六边形 $AEFCHG$ 的周长恒为 $6$． 备注1 问题2 如果菱形纸片 $ABCD$ 的边长仍为 $2$，改变 $\angle ABC$ 的大小，如图3，若 $\angle ABC=120^\circ$，则六边形 $AEFCHG$ 的周长为<nn> </nn>．如图4，若 $\angle ABC$ 的大小为 $2\alpha$，则六边形 $AEFCHG$ 的周长可表示为<nn> </nn>． 答案2 $4+2 \sqrt 3$；$4+4\sin\alpha$ 解析2 因为 $\angle ABC=120^\circ$，$EF=\sqrt 3BE$，$GH=\sqrt 3 GD$．<br/>因为 $AE=DH=DG=FC$，$AG=BF=BE=CH$．<br/>所以 $C_{\text{六边形}AEFCHG}=AB+AD+\sqrt 3BE+\sqrt 3GD=4+2\sqrt 3$．<br/>当 $\angle ABC=2\alpha$ 时，$EF=2BE\cdot \sin\alpha$，$GH=2DG\cdot \sin\alpha$．<br/>所以 $C_{\text{六边形}AEFCHG}=AB+AD+2\sin\alpha \left(BE+DG\right)=AB+AD+2\sin\alpha\cdot AB=4+4\sin\alpha$． 备注2