在 $\triangle{ABC}$ 中，顶点 $A,B$ 和内心 $I$ 的坐标分别为 $A(9,1),B(3,4),I(4,1)$，求顶点 $C$ 的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-1,-4)$
【解析】
如图．
因为 $k_{BI}=-3$，$k_{AI}=0$，$k_{AB}=-\dfrac 12$，所以 $k_{AC}=\dfrac 12$．
$k_{BC}$ 可以由到角公式解出：\[\dfrac{k_{AB}-k_{BI}}{1+k_{AB}\cdot k_{BI}}=\dfrac{k_{BI}-k_{BC}}{1+k_{BI}\cdot k_{BC}},\]即\[\dfrac{-\dfrac 12 +3}{1+\dfrac 32}=\dfrac{-3-k_{BC}}{1-3k_{BC}},\]解得 $k_{BC}=2$．
于是直线$$AC:y=\dfrac 12(x-9)+1,$$直线$$BC:y=2(x-3)+4,$$解得交点 $C(-1,-4)$．
因为 $k_{BI}=-3$，$k_{AI}=0$，$k_{AB}=-\dfrac 12$，所以 $k_{AC}=\dfrac 12$．$k_{BC}$ 可以由到角公式解出：\[\dfrac{k_{AB}-k_{BI}}{1+k_{AB}\cdot k_{BI}}=\dfrac{k_{BI}-k_{BC}}{1+k_{BI}\cdot k_{BC}},\]即\[\dfrac{-\dfrac 12 +3}{1+\dfrac 32}=\dfrac{-3-k_{BC}}{1-3k_{BC}},\]解得 $k_{BC}=2$．
于是直线$$AC:y=\dfrac 12(x-9)+1,$$直线$$BC:y=2(x-3)+4,$$解得交点 $C(-1,-4)$．
答案
解析
备注
