如图，已知 $\angle ABD=\angle ACD=60^\circ$，且 $\angle ADB=90^\circ-\dfrac 12\angle BDC$，求证：$\triangle ABC$ 是等腰三角形．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
延长 $BD$ 到 $E$，使得 $DE=CD$，连接 $AE$．
因为 $\angle ADB=90^\circ-\dfrac 12\angle BDC$，
所以 $2\angle ADB+\angle BDC=180^\circ$，即 $\angle ADC+\angle ADB=180^\circ$．
因为 $\angle ADE+\angle ADB=180^\circ$，
所以 $\angle ADC=\angle ADE$．
因为 $CD=DE$，$AD=AD$，
所以 $\triangle ADC\cong \triangle ADE,$
所以 $\angle ACD=\angle E=60^\circ$，$AC=AE$．
因为 $\angle ACD=\angle ABD=60^\circ$，
所以 $\angle ABD=\angle E$，
所以 $AB=AE$，
所以 $AB=AC$，
所以 $\triangle ABC$ 是等腰三角形．
因为 $\angle ADB=90^\circ-\dfrac 12\angle BDC$，
所以 $2\angle ADB+\angle BDC=180^\circ$，即 $\angle ADC+\angle ADB=180^\circ$．
因为 $\angle ADE+\angle ADB=180^\circ$，
所以 $\angle ADC=\angle ADE$．
因为 $CD=DE$，$AD=AD$，
所以 $\triangle ADC\cong \triangle ADE,$
所以 $\angle ACD=\angle E=60^\circ$，$AC=AE$．
因为 $\angle ACD=\angle ABD=60^\circ$，
所以 $\angle ABD=\angle E$，
所以 $AB=AE$，
所以 $AB=AC$，
所以 $\triangle ABC$ 是等腰三角形．
【解析】
略
答案
解析
备注
