利用简单初等函数对 $\ln x$（$x>1$）进行拟合，并比较各种拟合的精度．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
列表如下．\begin{matrix} \hline
f(x)& \ln x & x-1 & -\dfrac 12x^2+2x-\dfrac 32 & -\dfrac 1x+1 & 2\cdot\dfrac{x-1}{x+1} & \dfrac 12\left(x-\dfrac{1}{x}\right) & \dfrac 18\left(2x+7-\dfrac{27}{2x+1}\right) \\ \hline
x=0.5 & -0.6931 & -0.5 & -0.625 & -1 & -0.6667 & -0.75 & -0.6875 \\
x=0.8 & -0.2231 & -0.2 & -0.22 & -0.25 & -0.2222 & -0.225 & -0.2231 \\
x=1.5 & 0.4055 & 0.5 & 0.375 & 0.3333 & 0.4 & 0.4167 & 0.4062 \\
x=2 & 0.6931 & 1 & 0.5 & 0.5 & 0.6667 & 0.75 & 0.7 \\
x=3 & 1.0986 & 2 & 0 & 0.6667 & 1 & 1.3333 & 1.1429 \\ \hline
\end{matrix}我们定义使得 $\left|\dfrac{\ln x-f(x)}{\ln x}\right|\leqslant \lambda $ 的 $x $ 的取值范围中包含 $ x=1 $ 的区间为 $ f(x)$ 的" $ \lambda $ 可信区间"，那么\begin{matrix} \hline
f(x)& x-1 & -\dfrac 12x^2+2x-\dfrac 32 & -\dfrac 1x+1 & 2\cdot\dfrac{x-1}{x+1} & \dfrac 12\left(x-\dfrac{1}{x}\right) & \dfrac 18\left(2x+7-\dfrac{27}{2x+1}\right) \\ \hline
\lambda=0.1 & [0.81,1.21] & [0.50,1.58] & [0.83,1.24] & [0.31,3.21] & [0.47,2.15] & [0.17,4.39] \\
\lambda=0.2 & [0.63,1.43] & [0.32,1.84] & [0.70,1.59] & [0.17,5.90]] & [0.34,2.90] & [0.08,6.37] \\ \hline
\end{matrix}可以看出一次函数 $y=x-1$ 的"升级版"二次函数 $y=-\dfrac 12x^2+2x-\dfrac 32$ 表现并不好；而反比例函数 $y=-\dfrac 1x+1$ 的"升级版"一次分式函数 $y=2\cdot \dfrac{x-1}{x+1}$ 以及对勾函数 $y=2\left(x-\dfrac 1x\right)$ 的"升级版"对勾函数 $y=\dfrac 18\left(2x+7-\dfrac{27}{2x+1}\right)$ 表现出色．
当然，以上各函数 $f(x)$ 都可以利用换元变为 $2f\left(\sqrt x\right)$ 增加精度，例如利用$$\ln x\approx \dfrac 14\left(2\sqrt x+7-\dfrac{27}{2\sqrt x+1}\right)$$可以估算 $\ln 2\approx \dfrac{19-10\sqrt 2}7 = 0.69398\cdots $，这个精度已经非常高了．
f(x)& \ln x & x-1 & -\dfrac 12x^2+2x-\dfrac 32 & -\dfrac 1x+1 & 2\cdot\dfrac{x-1}{x+1} & \dfrac 12\left(x-\dfrac{1}{x}\right) & \dfrac 18\left(2x+7-\dfrac{27}{2x+1}\right) \\ \hline
x=0.5 & -0.6931 & -0.5 & -0.625 & -1 & -0.6667 & -0.75 & -0.6875 \\
x=0.8 & -0.2231 & -0.2 & -0.22 & -0.25 & -0.2222 & -0.225 & -0.2231 \\
x=1.5 & 0.4055 & 0.5 & 0.375 & 0.3333 & 0.4 & 0.4167 & 0.4062 \\
x=2 & 0.6931 & 1 & 0.5 & 0.5 & 0.6667 & 0.75 & 0.7 \\
x=3 & 1.0986 & 2 & 0 & 0.6667 & 1 & 1.3333 & 1.1429 \\ \hline
\end{matrix}我们定义使得 $\left|\dfrac{\ln x-f(x)}{\ln x}\right|\leqslant \lambda $ 的 $x $ 的取值范围中包含 $ x=1 $ 的区间为 $ f(x)$ 的" $ \lambda $ 可信区间"，那么\begin{matrix} \hline
f(x)& x-1 & -\dfrac 12x^2+2x-\dfrac 32 & -\dfrac 1x+1 & 2\cdot\dfrac{x-1}{x+1} & \dfrac 12\left(x-\dfrac{1}{x}\right) & \dfrac 18\left(2x+7-\dfrac{27}{2x+1}\right) \\ \hline
\lambda=0.1 & [0.81,1.21] & [0.50,1.58] & [0.83,1.24] & [0.31,3.21] & [0.47,2.15] & [0.17,4.39] \\
\lambda=0.2 & [0.63,1.43] & [0.32,1.84] & [0.70,1.59] & [0.17,5.90]] & [0.34,2.90] & [0.08,6.37] \\ \hline
\end{matrix}可以看出一次函数 $y=x-1$ 的"升级版"二次函数 $y=-\dfrac 12x^2+2x-\dfrac 32$ 表现并不好；而反比例函数 $y=-\dfrac 1x+1$ 的"升级版"一次分式函数 $y=2\cdot \dfrac{x-1}{x+1}$ 以及对勾函数 $y=2\left(x-\dfrac 1x\right)$ 的"升级版"对勾函数 $y=\dfrac 18\left(2x+7-\dfrac{27}{2x+1}\right)$ 表现出色．
当然，以上各函数 $f(x)$ 都可以利用换元变为 $2f\left(\sqrt x\right)$ 增加精度，例如利用$$\ln x\approx \dfrac 14\left(2\sqrt x+7-\dfrac{27}{2\sqrt x+1}\right)$$可以估算 $\ln 2\approx \dfrac{19-10\sqrt 2}7 = 0.69398\cdots $，这个精度已经非常高了．
答案
解析
备注
