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  微积分初步

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  利用导数研究函数的性质

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  利用导数研究函数的单调性
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  导数问题中的技巧

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  参数的讨论

当 $1<a<2$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,a^2-2a)$ 上单调递增，在 $(a^2-2a,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty )$ 上单调递增；
当 $a=2$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增；
当 $a>2$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递增，在 $(0,a^2-2a)$ 上单调递减，在 $(a^2-2a,+\infty)$ 上单调递增

根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{x^2+(2a-a^2)x}{(x+1)(x+a)^2},$$令 $g(x)=x^2+(2a-a^2)x$，则由于 $g(-1)=(a-1)^2>0$，对称轴 $x=\dfrac{a^2-2a}2>-1$，判别式 $\Delta=a^2(2-a)^2$，因此按 $a$ 与 $2$ 的大小关系进行讨论．情形一当 $1<a<2$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,a^2-2a)$ 上单调递增，在 $(a^2-2a,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty )$ 上单调递增；
情形二当 $a=2$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增；
情形三当 $a>2$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递增，在 $(0,a^2-2a)$ 上单调递减，在 $(a^2-2a,+\infty)$ 上单调递增．

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  数学归纳法

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  第一数学归纳法
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  利用有界性迭代估计

略

用数学归纳法证明如下．
当 $n=1$ 时，$a_1=1$，因此 $\dfrac 23<1\leqslant 1$，命题成立；
假设当 $n=k$，$k\in{\mathbb N^*}$ 时命题成立，即 $\dfrac{2}{k+2}<a_k\leqslant \dfrac{3}{k+2}$，则考虑当 $n=k+1$ 时，有 $a_{k+1}=\ln(a_k+1)$，从而$$\ln\left(\dfrac 2{k+2}+1\right)<a_{k+1}\leqslant \ln\left(\dfrac{3}{k+2}+1\right),$$因此只需要证明$$\begin{split} &\ln\left(\dfrac{2}{k+2}+1\right)\geqslant \dfrac{2}{k+3},\\&\ln\left(\dfrac{3}{k+2}+1\right)\leqslant \dfrac{3}{k+3}.\end{split} $$根据第 $(1)$ 小题的结论，当 $a=2$ 时，有 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，因此 $f(x)>f(0)=0$，即$$\ln(x+1)>\dfrac{2x}{x+2},$$令 $x=\dfrac{2}{k+2}$，即得$$\ln\left(\dfrac{2}{k+2}+1\right)> \dfrac{2}{k+3};$$当 $a=3$ 时，有 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，因此 $f(x)<f(0)=0$，即$$\ln(x+1)<\dfrac{3x}{x+3},$$令 $x=\dfrac{3}{k+2}$，即得$$\ln\left(\dfrac{3}{k+2}+1\right)<\dfrac{3}{k+3};$$综上所述，命题当 $n=k+1$ 时也成立．
因此原命题得证．