如图，已知两条抛物线 $E_1:y^2=2p_1x$（$p_1>0$）和 $E_2:y^2=2p_2x$（$p_2>0$），过原点 $O$ 的两条直线 $l_1$ 和 $l_2$，$l_1$ 与 $E_1,E_2$ 分别交于 $A_1,A_2$ 两点，$l_2$ 与 $E_1,E_2$ 分别交于 $B_1,B_2$ 两点．
【难度】
【出处】
2014年高考安徽卷（理）
【标注】
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证明：$A_1B_1 \parallel A_2B_2$；标注答案略解析设 $A_1(2p_1t_1^2,2p_1t_1)$，$B_1(2p_1t_2^2,2p_1t_2)$，$A_2(2p_2t_3^2,2p_2t_3)$，$B_2(2p_2t_4^2,2p_2t_4)$．
由 $A_1,A_2,O$ 三点共线，有直线 $OA_1$ 与直线 $OA_2$ 的斜率相等，从而 $t_1=t_3$；类似的，由 $B_1,B_2,O$ 三点共线，可得 $t_2=t_4$．
当 $t_1+t_2\neq 0$ 时，直线 $A_1B_1$ 的斜率为$$\dfrac{2p_1t_1-2p_1t_2}{2p_1t_1^2-2p_1t_2^2}=\dfrac{1}{t_1+t_2},$$同理可得直线 $A_2B_2$ 的斜率为 $\dfrac{1}{t_3+t_4}$，因此 $A_1B_1\parallel A_2B_2$．
当 $t_1+t_2=0$ 时，$t_3+t_4=0$，因此直线 $A_1B_1$ 与直线 $A_2B_2$ 均垂直于 $x$ 轴，此时仍有 $A_1B_1\parallel A_2B_2$．
综上，原命题得证． -
过 $O$ 作直线 $l$（异于 $l_1,l_2$）与 $E_1,E_2$ 分别交于 $C_1,C_2$ 两点．记 $\triangle A_1B_1C_1$ 与 $\triangle A_2B_2C_2$ 的面积分别为 $S_1$ 与 $S_2$，求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的值．标注答案$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{p_1^2}{p_2^2}$解析由第 $(1)$ 小题的结论可知，$\triangle A_1B_1C_1$ 与 $\triangle A_2B_2C_2$ 的三边分别平行，因此三个内角对应相等，于是 $\triangle A_1B_1C_1$ 与 $\triangle A_2B_2C_2$ 相似，其面积比 $\dfrac{S_1}{S_2}=\left(\dfrac{A_1B_1}{A_2B_2}\right)^2$，又 $\triangle OA_1B_1$ 与 $\triangle OA_2B_2$ 相似，因此$$\dfrac{A_1B_1}{A_2B_2}=\dfrac{OA_1}{OA_2}=\dfrac{2p_1t_1}{2p_2t_3}=\dfrac{p_1}{p_2},$$这样我们就有 $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{p_1^2}{p_2^2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
