题目 设函数 $f(x)=1+(1+a)x-x^2-x^3$，其中 $a>0$． 问题1 讨论 $f(x)$ 在其定义域上的单调性； 答案1 函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty ,\dfrac{-1-\sqrt{4+3a}}3\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{-1-\sqrt{4+3a}}3,\dfrac{-1+\sqrt{4+3a}}3\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{-1+\sqrt{4+3a}}3,+\infty \right)$ 上单调递减 解析1 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=-3x^2-2x+1+a,$$其判别式 $\Delta=12a+16>0$，于是函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty ,\dfrac{-1-\sqrt{4+3a}}3\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{-1-\sqrt{4+3a}}3,\dfrac{-1+\sqrt{4+3a}}3\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{-1+\sqrt{4+3a}}3,+\infty \right)$ 上单调递减． 备注1 问题2 当 $x\in [0,1]$ 时，求 $f(x)$ 取得最大值和最小值时的 $x$ 的值． 答案2 最大值在 $x=1$ 处取得，最小值在 $x=0$ 处取得 解析2 注意到 $f(0)=1$，$f(1)=a$，而 $f'(0)=a+1$，$f'(1)=a-4$，因此按 $a$ 和 $1,4$ 的大小关系展开讨论．<br/><case>情形一</case> $0<a<1$．函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上先单调递增，再单调递减，因此最大值在 $x=\dfrac{-1+\sqrt{4+3a}}3$ 处取得，最小值在 $x=1$ 处取得；<br/><case>情形二</case> $a=1$．函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上先单调递增，再单调递减，因此最大值在 $x=\dfrac{-1+\sqrt{4+3a}}3$ 处取得，最小值在 $x=0$ 和 $x=1$ 处取得；<br/><case>情形三</case> $1<a<4$，函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上先单调递增，再单调递减，因此最大值为 $x=\dfrac{-1+\sqrt{4+3a}}3$ 处取得，最小值在 $x=0$ 处取得；<br/><case>情形四</case> $a\geqslant 4$，函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，因此最大值在 $x=1$ 处取得，最小值在 $x=0$ 处取得． 备注2